미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

단계 1.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

단계 1.3

$x$ 이(가) 근에 대해 $\infty$ 에 접근함에 따라 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

단계 3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

단계 3.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

단계 3.4

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}$

단계 3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

단계 3.6

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

단계 3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}$

단계 3.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.8.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}$

단계 3.8.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}$

단계 3.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}$

단계 3.10

간단히 합니다.

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단계 3.10.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

단계 3.10.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

단계 5

인수끼리 묶습니다.

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단계 5.1

$3$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} x^{\frac{2}{3}}$

단계 5.2

$\frac{3}{x}$ 와 $x^{\frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{x}$

단계 6

소거합니다.

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단계 6.1

$3 x^{\frac{2}{3}}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x}$

단계 6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x^{1}}$

단계 6.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

단계 6.2.3

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

단계 6.2.4

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{- \frac{1}{3}}}{1}$

단계 6.2.5

$3 x^{- \frac{1}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} 3 x^{- \frac{1}{3}}$

단계 7

극한값을 계산합니다.

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단계 7.1

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$3 lim_{x \to \infty} x^{- \frac{1}{3}}$

단계 7.2

극한 인수를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

단계 7.2.2

$x^{\frac{1}{3}}$ 을 $\sqrt[3]{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

단계 8

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$3 \cdot 0$

단계 9

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$