미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 11 x^{2} - 2 x + 8}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

단계 1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 와 $- x$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x + 2}$

단계 1.3.2

최고차항 계수가 음수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 음의 무한대입니다.

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 1.3.3

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{- \infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $11 x^{2} - 2 x + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$11$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $11 x^{2}$ 의 미분은 $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

단계 3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{11 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

단계 3.3.3

$2$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

단계 3.4.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

단계 3.5

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

단계 3.6

$22 x - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $2 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]}$

단계 3.8

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

단계 3.9

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.9.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.9.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1 \cdot 1}$

단계 3.9.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1}$

단계 3.10

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{- 1}$

단계 4

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{22 x - 2}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x - 2)$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x) - 1 \cdot - 2$

단계 4.3

곱합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 에 $22$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} - 22 x - 1 \cdot - 2$

단계 4.3.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} - 22 x + 2$

단계 5

최고차항 계수가 음수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 음의 무한대입니다.

$- \infty$