미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (9 x)}{x}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (9 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.2

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.2.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $\arcsin (9 x)$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\arcsin (9 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.2.2

$9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.2.3

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (9 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (9 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (9 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.2

$f (x) = \arcsin (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.2.2

$\arcsin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3

$9 x$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.4

$9 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - (9^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.5

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - (81 x^{2})}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.6

$81$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.7

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.8

$9$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.10

$\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}}{1}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \cdot 1$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

단계 5.2

$9$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$9 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

단계 5.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$9 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

단계 5.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

단계 5.5

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$9 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 81 x^{2}}}$

단계 5.6

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$9 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 81 x^{2}}}$

단계 5.7

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} 81 x^{2}}}$

단계 5.8

$81$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 lim_{x \to 0} x^{2}}}$

단계 5.9

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

단계 6

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 \cdot 0^{2}}}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 \cdot 0}}$

단계 7.1.2

$- 81$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$9 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

단계 7.1.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 \frac{1}{\sqrt{1}}$

단계 7.1.4

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$9 (\frac{1}{1})$

단계 7.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

공약수로 약분합니다.

$9 (\frac{1}{1})$

단계 7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$9 \cdot 1$

단계 7.3

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9$