미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.2

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.2.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $\arcsin (x)$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.2.2

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.2

$\arcsin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{1}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot 1$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

단계 5.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

단계 5.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

단계 5.4

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}$

단계 5.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

단계 5.6

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

단계 5.7

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

단계 6

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0^{2}}}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0}}$

단계 7.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

단계 7.1.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

단계 7.1.4

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{1}$

단계 7.2

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1$