미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

단계 1.2

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $2^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

단계 1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.2

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2 x}$

단계 4

$2^{x}$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1

$2^{x} \ln (2)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

단계 4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 (x)}$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

단계 4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln (2)}{lim_{x \to \infty} x}$

단계 5.1.2

$2^{x - 1}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $\ln (2)$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

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단계 5.1.2.1

상수 배수 $\ln (2)$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}}{lim_{x \to \infty} x}$

단계 5.1.2.2

지수 $x - 1$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $2^{x - 1}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

단계 5.1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 5.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 5.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.2

$\ln (2)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2^{x - 1} \ln (2)$ 의 미분은 $\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.3

$f (x) = 2^{x}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.3.2

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.3.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{x - 1} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.4

$\ln (2)$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.5

$\ln (2)$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} {\ln (2)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.8

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.10

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.11

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.12

$2^{x - 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{1}$

단계 5.4

$2^{x - 1} \ln^{2} (2)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln^{2} (2)$

단계 6

$2^{x - 1}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $\ln^{2} (2)$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

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단계 6.1

상수 배수 $\ln^{2} (2)$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}$

단계 6.2

지수 $x - 1$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $2^{x - 1}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\infty$