미적분 예제

$f (x) = x^{\frac{1}{9}} + 9$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{9}} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$n = \frac{1}{9}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.3

$- 1$ 와 $\frac{9}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.1

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 9}{9}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.5.2

$1$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{9} x^{\frac{- 8}{9}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} + 0$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x^{\frac{8}{9}}} + 0$

단계 1.1.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1

$\frac{1}{9}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{8}{9}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}} + 0$

단계 1.1.4.2.2

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}}$ 입니다.

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{1}{9 \sqrt[9]{x^{8}}}$

단계 4.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{9 \sqrt[9]{x^{8}}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$9 \sqrt[9]{x^{8}} = 0$

단계 4.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 $9$ 승합니다.

${(9 \sqrt[9]{x^{8}})}^{9} = 0^{9}$

단계 4.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[9]{x^{8}}$ 을(를) $x^{\frac{8}{9}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(9 x^{\frac{8}{9}})}^{9} = 0^{9}$

단계 4.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

${(9 x^{\frac{8}{9}})}^{9}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1.1

$9 x^{\frac{8}{9}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$9^{9} {(x^{\frac{8}{9}})}^{9} = 0^{9}$

단계 4.3.2.2.1.2

$9$ 를 $9$ 승 합니다.

$387420489 {(x^{\frac{8}{9}})}^{9} = 0^{9}$

단계 4.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{8}{9}})}^{9}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$387420489 x^{\frac{8}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

단계 4.3.2.2.1.3.2

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$387420489 x^{\frac{8}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

단계 4.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$387420489 x^{8} = 0^{9}$

단계 4.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$387420489 x^{8} = 0$

단계 4.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$387420489 x^{8} = 0$ 의 각 항을 $387420489$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1.1

$387420489 x^{8} = 0$ 의 각 항을 $387420489$ 로 나눕니다.

$\frac{387420489 x^{8}}{387420489} = \frac{0}{387420489}$

단계 4.3.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1.2.1

$387420489$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{387420489 x^{8}}{387420489} = \frac{0}{387420489}$

단계 4.3.3.1.2.1.2

$x^{8}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{8} = \frac{0}{387420489}$

단계 4.3.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1.3.1

$0$ 을 $387420489$ 로 나눕니다.

$x^{8} = 0$

단계 4.3.3.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt[8]{0}$

단계 4.3.3.3

$\pm \sqrt[8]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.3.1

$0$ 을 $0^{8}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt[8]{0^{8}}$

단계 4.3.3.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 4.3.3.3.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5

도함수 $f' (x) = \frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 구간에서 $f (x) = x^{\frac{1}{9}} + 9$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 6

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = \frac{1}{9 {(- 1)}^{\frac{8}{9}}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 1$ 을 ${(- 1)}^{9}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (- 1) = \frac{1}{9 {({(- 1)}^{9})}^{\frac{8}{9}}}$

단계 6.2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f' (- 1) = \frac{1}{9 {(- 1)}^{9 (\frac{8}{9})}}$

단계 6.2.1.3

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$f' (- 1) = \frac{1}{9 {(- 1)}^{9 (\frac{8}{9})}}$

단계 6.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (- 1) = \frac{1}{9 {(- 1)}^{8}}$

단계 6.2.1.4

$- 1$ 를 $8$ 승 합니다.

$f' (- 1) = \frac{1}{9 \cdot 1}$

단계 6.2.2

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = \frac{1}{9}$

단계 6.2.3

최종 답은 $\frac{1}{9}$ 입니다.

$\frac{1}{9}$

단계 6.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $\frac{1}{9}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 증가함

단계 7

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = \frac{1}{9 {(1)}^{\frac{8}{9}}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = \frac{1}{9 \cdot 1}$

단계 7.2.2

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = \frac{1}{9}$

단계 7.2.3

최종 답은 $\frac{1}{9}$ 입니다.

$\frac{1}{9}$

단계 7.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $\frac{1}{9}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

단계 9