미적분 예제

$f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \frac{4 x}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{4 x}{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

단계 1.1.1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

단계 1.1.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{4 x}{3}$ 로 바꿉니다.

$- \sin (\frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$\frac{4}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 x}{3}$ 의 미분은 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \sin (\frac{4 x}{3}) (\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.2.2

$\frac{4}{3}$ 와 $\sin (\frac{4 x}{3})$ 을 묶습니다.

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \cdot 1$

단계 1.1.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ 입니다.

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

단계 2.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

단계 2.3.1.2.1.2

$\sin (\frac{4 x}{3})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (\frac{4 x}{3}) = \frac{0}{4}$

단계 2.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$\sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

단계 2.3.2

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$\frac{4 x}{3} = \arcsin (0)$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{4 x}{3} = 0$

단계 2.3.4

분자가 0과 같게 만듭니다.

$4 x = 0$

단계 2.3.5

$4 x = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$4 x = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

단계 2.3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

단계 2.3.5.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{4}$

단계 2.3.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 2.3.6

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$\frac{4 x}{3} = π - 0$

단계 2.3.7

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

방정식의 양변에 $\frac{3}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

단계 2.3.7.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1.1

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

단계 2.3.7.2.1.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

단계 2.3.7.2.1.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1.1.2.1

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} (4 (x)) = \frac{3}{4} (π - 0)$

단계 2.3.7.2.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

단계 2.3.7.2.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{3}{4} (π - 0)$

단계 2.3.7.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.2.1

$\frac{3}{4} (π - 0)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.2.1.1

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3}{4} π$

단계 2.3.7.2.2.1.2

$\frac{3}{4}$ 와 $π$ 을 묶습니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 2.3.8

$\sin (\frac{4 x}{3})$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.3.8.2

주기 공식에서 $b$ 에 $\frac{4}{3}$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} |}$

단계 2.3.8.3

$\frac{4}{3}$ 은 약 $1.\overline{3}$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\frac{2 π}{\frac{4}{3}}$

단계 2.3.8.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$2 π \frac{3}{4}$

단계 2.3.8.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.5.1

$2 π$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (π) \frac{3}{4}$

단계 2.3.8.5.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (π) \frac{3}{2 (2)}$

단계 2.3.8.5.3

공약수로 약분합니다.

$2 π \frac{3}{2 \cdot 2}$

단계 2.3.8.5.4

수식을 다시 씁니다.

$π \frac{3}{2}$

단계 2.3.8.6

$π$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{π \cdot 3}{2}$

단계 2.3.8.7

$π$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 π}{2}$

단계 2.3.9

함수 $\sin (\frac{4 x}{3})$ 의 주기는 $\frac{3 π}{2}$ 이므로 양 방향으로 $\frac{3 π}{2}$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3 π n}{2}, \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$

단계 2.4

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3 π n}{4}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{3 π n}{4}$ 입니다.

$\frac{3 π n}{4}$

단계 4

도함수 $f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$ 구간에서 $f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3 π n}{4} - 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1)}{3})}{3}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}{3})}{3}$

단계 5.2.1.2

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

단계 5.2.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

단계 5.2.1.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 4}{4})}{3})}{3}$

단계 5.2.2

$4$ 와 $\frac{3 π n - 4}{4}$ 을 묶습니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

단계 5.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{4 (3 π n - 4)}{4}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

단계 5.2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n - 4}{1}}{3})}{3}$

단계 5.2.3.2

$3 π n - 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

단계 5.2.4

최종 답은 $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ 입니다.

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

단계 5.3

$x = \frac{3 π n}{4} - 1$ 에서의 도함수는 $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ 에서 감소함

단계 6

$(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3 π n}{4} + 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + 1)}{3})}{3}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{4}{4})}{3})}{3}$

단계 6.2.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n + 4}{4})}{3})}{3}$

단계 6.2.2

$4$ 와 $\frac{3 π n + 4}{4}$ 을 묶습니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

단계 6.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{4 (3 π n + 4)}{4}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

단계 6.2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n + 4}{1}}{3})}{3}$

단계 6.2.3.2

$3 π n + 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

단계 6.2.4

최종 답은 $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ 입니다.

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

단계 6.3

$x = \frac{3 π n}{4} + 1$ 에서의 도함수는 $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ 에서 감소함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

다음 구간에서 감소: $(- \infty, \frac{3 π n}{4}), (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

단계 8