미적분 예제

$f (x) = 2 x^{3} + 18 x^{2} + 54 x + 55$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 18 x^{2} + 54 x + 55$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $18 x^{2}$ 의 미분은 $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [54 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$54$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $54 x$ 의 미분은 $54 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x^{2} + 36 x + 54 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [55]$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + 36 x + 54 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [55]$

단계 1.1.4.3

$54$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + 36 x + 54 + \frac{d}{d x} [55]$

단계 1.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$55$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $55$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $55$ 입니다.

$6 x^{2} + 36 x + 54 + 0$

단계 1.1.5.2

$6 x^{2} + 36 x + 54$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 36 x + 54$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $6 x^{2} + 36 x + 54$ 입니다.

$6 x^{2} + 36 x + 54$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $6 x^{2} + 36 x + 54 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$6 x^{2} + 36 x + 54 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$6 x^{2} + 36 x + 54$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$6 x^{2}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 36 x + 54 = 0$

단계 2.2.1.2

$36 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 (6 x) + 54 = 0$

단계 2.2.1.3

$54$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{2} + 6 (6 x) + 6 \cdot 9 = 0$

단계 2.2.1.4

$6 x^{2} + 6 (6 x)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} + 6 x) + 6 \cdot 9 = 0$

단계 2.2.1.5

$6 (x^{2} + 6 x) + 6 \cdot 9$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

단계 2.2.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

단계 2.2.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

단계 2.2.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$6 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

단계 2.2.2.4

$a = x$ 이고 $b = 3$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$6 {(x + 3)}^{2} = 0$

단계 2.3

$6 {(x + 3)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$6 {(x + 3)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 {(x + 3)}^{2}}{6} = \frac{0}{6}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 {(x + 3)}^{2}}{6} = \frac{0}{6}$

단계 2.3.2.1.2

${(x + 3)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x + 3)}^{2} = \frac{0}{6}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$0$ 을 $6$ 로 나눕니다.

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 2.4

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 2.5

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

단계 4

도함수 $f' (x) = 6 x^{2} + 36 x + 54$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$ 구간에서 $f (x) = 2 x^{3} + 18 x^{2} + 54 x + 55$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 3)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f' (- 4) = 6 {(- 4)}^{2} + 36 (- 4) + 54$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 4) = 6 \cdot 16 + 36 (- 4) + 54$

단계 5.2.1.2

$6$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = 96 + 36 (- 4) + 54$

단계 5.2.1.3

$36$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = 96 - 144 + 54$

단계 5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$96$ 에서 $144$ 을 뺍니다.

$f' (- 4) = - 48 + 54$

단계 5.2.2.2

$- 48$ 를 $54$ 에 더합니다.

$f' (- 4) = 6$

단계 5.2.3

최종 답은 $6$ 입니다.

$6$

단계 5.3

$x = - 4$ 에서의 도함수는 $6$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, - 3)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 3)$ 에서 증가함

단계 6

$(- 3, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2) + 54$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2) = 6 \cdot 4 + 36 (- 2) + 54$

단계 6.2.1.2

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 24 + 36 (- 2) + 54$

단계 6.2.1.3

$36$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 24 - 72 + 54$

단계 6.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$24$ 에서 $72$ 을 뺍니다.

$f' (- 2) = - 48 + 54$

단계 6.2.2.2

$- 48$ 를 $54$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = 6$

단계 6.2.3

최종 답은 $6$ 입니다.

$6$

단계 6.3

$x = - 2$ 에서의 도함수는 $6$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 3, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- 3, \infty)$ 에서 증가함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, - 3), (- 3, \infty)$

단계 8