미적분 예제

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ 의 미분은 $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$ 입니다.

$20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$

단계 1.1.1.2

$\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ 을 ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$20 \frac{d}{d x} [{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}]$

단계 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 1 + 9 e^{- 3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $1 + 9 e^{- 3 x}$ 로 바꿉니다.

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

단계 1.1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

단계 1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $1 + 9 e^{- 3 x}$ 로 바꿉니다.

$20 (- {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

단계 1.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 1$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$- 20 ({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

단계 1.1.3.2

합의 법칙에 의해 $1 + 9 e^{- 3 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ 가 됩니다.

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

단계 1.1.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

단계 1.1.3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ 에 더합니다.

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$

단계 1.1.3.5

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 e^{- 3 x}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ 입니다.

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

단계 1.1.3.6

$9$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 1.1.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 1.1.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 1.1.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 1.1.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 1.1.5.2

$- 3$ 에 $- 180$ 을 곱합니다.

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 1.1.5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \cdot 1)$

단계 1.1.5.4

$e^{- 3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$

단계 1.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$540 e^{- 3 x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2}$

단계 1.1.6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

단계 1.1.6.3

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.3.1

$\frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 와 $540$ 을 묶습니다.

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} e^{- 3 x}$

단계 1.1.6.3.2

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 와 $e^{- 3 x}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 입니다.

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$540 e^{- 3 x} = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (540 e^{- 3 x}) = \ln (0)$

단계 2.3.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.3.3

$540 e^{- 3 x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 4

도함수 $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점이 없습니다. $f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ 가 증가하는지 또는 감소하는지를 확인하는 구간은 $(- \infty, \infty)$ 입니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5

구간 $(- \infty, \infty)$ 에 속한 임의의 값, 예를 들면 $1$ 을 도함수 $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 에 대입하여 결과가 음수인지 또는 양수인지를 확인합니다. 결과가 음수인 경우, 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 감소합니다. 결과가 양수인 경우, 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = \frac{540 e^{- 3 \cdot 1}}{{(1 + 9 e^{- 3 \cdot 1})}^{2}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- 3 \cdot 1}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3})}^{2} e^{3}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 (\frac{1}{e^{3}}))}^{2} e^{3}}$

단계 5.2.2.2

$9$ 와 $\frac{1}{e^{3}}$ 을 묶습니다.

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

단계 5.2.2.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

단계 5.2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3} + 9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

단계 5.2.2.5

$\frac{e^{3} + 9}{e^{3}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{{(e^{3})}^{2}} \cdot e^{3}}$

단계 5.2.2.6

${(e^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3 \cdot 2}} \cdot e^{3}}$

단계 5.2.2.6.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}} \cdot e^{3}}$

단계 5.2.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}$ 와 $e^{3}$ 을 묶습니다.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}}$

단계 5.2.3.2

공약수를 소거하여 수식 $\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

${(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}$ 에서 $e^{3}$ 를 인수분해합니다.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}}$

단계 5.2.3.2.2

$e^{6}$ 에서 $e^{3}$ 를 인수분해합니다.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

단계 5.2.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

단계 5.2.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3}}}$

단계 5.2.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f' (1) = 540 (\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}})$

단계 5.2.5

$540$ 와 $\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (1) = \frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

단계 5.2.6

최종 답은 $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

단계 6

$f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 에 $1$ 을 대입한 결과는 $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ 로 양수입니다. 따라서 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} > 0$ 이므로 $(- \infty, \infty)$ 에서 증가함

단계 7

$(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가하면 함수는 항상 증가합니다.

항상 증가

단계 8