미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2} + 16}{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x^{2} + 16$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.2.3

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.2.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 1.1.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{x^{2}}$

단계 1.1.9

간단히 합니다.

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단계 1.1.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 16}{x^{2}}$

단계 1.1.9.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.9.2.1

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 16}{x^{2}}$

단계 1.1.9.2.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2}}$

단계 1.1.9.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.9.3.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2}}$

단계 1.1.9.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$f' (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$ 입니다.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$(x + 4) (x - 4) = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

단계 2.3.2

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 2.3.2.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 2.3.3

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.3.3.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.3.4

$(x + 4) (x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 4, 4$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $- 4, 4$ 입니다.

$- 4, 4$

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

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단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 4.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 4)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 5$ 을 대입합니다.

$f' (- 5) = \frac{((- 5) + 4) ((- 5) - 4)}{{(- 5)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (- 5) = \frac{- 1 (- 5 - 4)}{{(- 5)}^{2}}$

단계 6.2.1.2

$- 5$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (- 5) = \frac{- 1 \cdot - 9}{{(- 5)}^{2}}$

단계 6.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 5) = \frac{- 1 \cdot - 9}{25}$

단계 6.2.2.2

$- 1$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$f' (- 5) = \frac{9}{25}$

단계 6.2.3

최종 답은 $\frac{9}{25}$ 입니다.

$\frac{9}{25}$

단계 6.3

$x = - 5$ 에서의 도함수는 $\frac{9}{25}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, - 4)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 4)$ 에서 증가함

단계 7

$(- 4, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = \frac{((- 2) + 4) ((- 2) - 4)}{{(- 2)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$- 2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = \frac{2 (- 2 - 4)}{{(- 2)}^{2}}$

단계 7.2.1.2

$- 2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (- 2) = \frac{2 \cdot - 6}{{(- 2)}^{2}}$

단계 7.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2) = \frac{2 \cdot - 6}{4}$

단계 7.2.2.2

$2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 12}{4}$

단계 7.2.2.3

$- 12$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$f' (- 2) = - 3$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

단계 7.3

$x = - 2$ 에서의 도함수는 $- 3$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- 4, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- 4, 0)$ 에서 감소함

단계 8

$(0, 4)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = \frac{((2) + 4) ((2) - 4)}{{(2)}^{2}}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (2) = \frac{6 (2 - 4)}{2^{2}}$

단계 8.2.1.2

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (2) = \frac{6 \cdot - 2}{2^{2}}$

단계 8.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = \frac{6 \cdot - 2}{4}$

단계 8.2.2.2

$6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = \frac{- 12}{4}$

단계 8.2.2.3

$- 12$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$f' (2) = - 3$

단계 8.2.3

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

단계 8.3

$x = 2$ 에서의 도함수는 $- 3$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, 4)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, 4)$ 에서 감소함

단계 9

$(4, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

수식에서 변수 $x$ 에 $5$ 을 대입합니다.

$f' (5) = \frac{((5) + 4) ((5) - 4)}{{(5)}^{2}}$

단계 9.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

$5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (5) = \frac{9 (5 - 4)}{5^{2}}$

단계 9.2.1.2

$5$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 1}{5^{2}}$

단계 9.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 1}{25}$

단계 9.2.2.2

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (5) = \frac{9}{25}$

단계 9.2.3

최종 답은 $\frac{9}{25}$ 입니다.

$\frac{9}{25}$

단계 9.3

$x = 5$ 에서의 도함수는 $\frac{9}{25}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(4, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(4, \infty)$ 에서 증가함

단계 10

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, - 4), (4, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- 4, 0), (0, 4)$

단계 11