미적분 예제

$y = \ln^{3} (x)$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \ln^{3} (y)$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

$\ln^{3} (y) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\ln^{3} (y) = x$

단계 2.2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

괄호를 제거합니다.

$\ln^{3} (y) = x$

단계 2.2.2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (y) = \sqrt[3]{x}$

단계 2.2.2.2

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[3]{x}}$

단계 2.2.2.3

로그의 정의를 이용하여 $\ln (y) = \sqrt[3]{x}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\sqrt[3]{x}} = y$

단계 2.2.2.4

$y = e^{\sqrt[3]{x}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y = e^{\sqrt[3]{x}}$

단계 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ 가 $f (x) = \ln^{3} (x)$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\ln^{3} (x))$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

단계 4.2.3

괄호를 제거합니다.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

단계 4.2.4

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\ln (x)}$

단계 4.2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = x$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (e^{\sqrt[3]{x}})$ 값을 계산합니다.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = \ln^{3} (e^{\sqrt[3]{x}})$

단계 4.3.3

로그 공식을 이용해 지수에서 $\sqrt[3]{x}$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \ln (e))}^{3}$

단계 4.3.4

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \cdot 1)}^{3}$

단계 4.3.5

$\sqrt[3]{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

단계 4.3.6

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

단계 4.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

단계 4.3.6.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

단계 4.3.6.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

단계 4.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

단계 4.3.6.5

간단히 합니다.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ 은 $f (x) = \ln^{3} (x)$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$