미적분 예제

$4 x^{3} - 256 x$

단계 1

$4 x^{3} - 256 x$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 4 x^{3} - 256 x$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 256 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256 x]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 256 x]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 256 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 256 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 256$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 256 x$ 의 미분은 $- 256 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x^{2} - 256 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 256 \cdot 1$

단계 2.3.3

$- 256$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} - 256$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{2} - 256$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 256]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 256)$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{2}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 256)$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 256)$

단계 3.2.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 256)$

단계 3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 256$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 256$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 256$ 입니다.

$f'' (x) = 24 x + 0$

단계 3.3.2

$24 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 24 x$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$12 x^{2} - 256 = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 256 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256 x]$

단계 5.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256 x]$

단계 5.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 256 x]$

단계 5.1.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 256 x]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 256 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$- 256$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 256 x$ 의 미분은 $- 256 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x^{2} - 256 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 256 \cdot 1$

단계 5.1.3.3

$- 256$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 256$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{2} - 256$ 입니다.

$12 x^{2} - 256$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{2} - 256 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{2} - 256 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에 $256$ 를 더합니다.

$12 x^{2} = 256$

단계 6.3

$12 x^{2} = 256$ 의 각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$12 x^{2} = 256$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{256}{12}$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{256}{12}$

단계 6.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{256}{12}$

단계 6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$256$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1.1

$256$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} = \frac{4 (64)}{12}$

단계 6.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 3}$

단계 6.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 3}$

단계 6.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} = \frac{64}{3}$

단계 6.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{64}{3}}$

단계 6.5

$\pm \sqrt{\frac{64}{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$\sqrt{\frac{64}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{3}}$

단계 6.5.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{8^{2}}}{\sqrt{3}}$

단계 6.5.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{8}{\sqrt{3}}$

단계 6.5.3

$\frac{8}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 6.5.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.4.1

$\frac{8}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 6.5.4.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{8 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 6.5.4.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{8 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 6.5.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm \frac{8 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 6.5.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm \frac{8 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 6.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{8 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 6.5.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm \frac{8 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 6.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{8 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 6.5.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm \frac{8 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 6.5.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{8 \sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 6.5.4.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 6.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 6.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 6.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{8 \sqrt{3}}{3}, - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 8

계산할 임계점.

$x = \frac{8 \sqrt{3}}{3}, - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 9

$x = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$24 (\frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 10

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$24$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (8) \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 10.1.2

공약수로 약분합니다.

$3 \cdot 8 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 10.1.3

수식을 다시 씁니다.

$8 (8 \sqrt{3})$

단계 10.2

$8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$64 \sqrt{3}$

단계 11

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 은 극소값입니다.

단계 12

$x = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 {(\frac{8 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1.1

$\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (\frac{{(8 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}) - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.1.2

$8 \sqrt{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (\frac{8^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.2.1

$8$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (\frac{512 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.2.2

${\sqrt{3}}^{3}$ 을 $\sqrt{3^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (\frac{512 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.2.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (\frac{512 \sqrt{27}}{3^{3}}) - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.2.4

$27$ 을 $3^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.2.4.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (\frac{512 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.2.4.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (\frac{512 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.2.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (\frac{512 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}}) - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.2.6

$512$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (\frac{1536 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (\frac{1536 \sqrt{3}}{27}) - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.4

$1536$ 및 $27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.4.1

$1536 \sqrt{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (\frac{3 (512 \sqrt{3})}{27}) - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.4.2.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (\frac{3 (512 \sqrt{3})}{3 (9)}) - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (\frac{3 (512 \sqrt{3})}{3 \cdot 9}) - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (\frac{512 \sqrt{3}}{9}) - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.5

$4 \frac{512 \sqrt{3}}{9}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.5.1

$4$ 와 $\frac{512 \sqrt{3}}{9}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4 (512 \sqrt{3})}{9} - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.5.2

$512$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2048 \sqrt{3}}{9} - 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.6

$- 256 \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.6.1

$- 256$ 와 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2048 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 256 (8 \sqrt{3})}{3}$

단계 12.2.1.6.2

$8$ 에 $- 256$ 을 곱합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2048 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2048 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2048 \sqrt{3}}{9} - \frac{2048 \sqrt{3}}{3}$

단계 12.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2048 \sqrt{3}}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2048 \sqrt{3}}{9} - \frac{2048 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

단계 12.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $9$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.1

$\frac{2048 \sqrt{3}}{3}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2048 \sqrt{3}}{9} - \frac{2048 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

단계 12.2.3.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2048 \sqrt{3}}{9} - \frac{2048 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

단계 12.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2048 \sqrt{3} - 2048 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

단계 12.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.1

$3$ 에 $- 2048$ 을 곱합니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2048 \sqrt{3} - 6144 \sqrt{3}}{9}$

단계 12.2.5.2

$2048 \sqrt{3}$ 에서 $6144 \sqrt{3}$ 을 뺍니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 4096 \sqrt{3}}{9}$

단계 12.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4096 \sqrt{3}}{9}$

단계 12.2.7

최종 답은 $- \frac{4096 \sqrt{3}}{9}$ 입니다.

$y = - \frac{4096 \sqrt{3}}{9}$

단계 13

$x = - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$24 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 14

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$24 \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

단계 14.1.2

$24$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (8) \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

단계 14.1.3

공약수로 약분합니다.

$3 \cdot 8 \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

단계 14.1.4

수식을 다시 씁니다.

$8 (- 8 \sqrt{3})$

단계 14.2

$- 8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 64 \sqrt{3}$

단계 15

이계도함수가 음수이므로 $x = - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 은 극대값입니다

단계 16

$x = - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 16.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 을 대입합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 {(- \frac{8 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 16.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 16.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 16.2.1.1.1

$- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{8 \sqrt{3}}{3})}^{3}) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.1.2

$\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(8 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}})) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.1.3

$8 \sqrt{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{8^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}})) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (- \frac{8^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.2.1.3.1

$8$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (- \frac{512 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.3.2

${\sqrt{3}}^{3}$ 을 $\sqrt{3^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (- \frac{512 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.3.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (- \frac{512 \sqrt{27}}{3^{3}}) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.3.4

$27$ 을 $3^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 16.2.1.3.4.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (- \frac{512 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.3.4.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (- \frac{512 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.3.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (- \frac{512 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}}) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.3.6

$512$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (- \frac{1536 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (- \frac{1536 \sqrt{3}}{27}) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.5

$1536$ 및 $27$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 16.2.1.5.1

$1536 \sqrt{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (- \frac{3 (512 \sqrt{3})}{27}) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 16.2.1.5.2.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (- \frac{3 (512 \sqrt{3})}{3 (9)}) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (- \frac{3 (512 \sqrt{3})}{3 \cdot 9}) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = 4 (- \frac{512 \sqrt{3}}{9}) - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.6

$4 (- \frac{512 \sqrt{3}}{9})$ 을 곱합니다.

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단계 16.2.1.6.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = - 4 \frac{512 \sqrt{3}}{9} - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.6.2

$- 4$ 와 $\frac{512 \sqrt{3}}{9}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 4 (512 \sqrt{3})}{9} - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.6.3

$512$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 2048 \sqrt{3}}{9} - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2048 \sqrt{3}}{9} - 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.8

$- 256 (- \frac{8 \sqrt{3}}{3})$ 을 곱합니다.

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단계 16.2.1.8.1

$- 1$ 에 $- 256$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2048 \sqrt{3}}{9} + 256 (\frac{8 \sqrt{3}}{3})$

단계 16.2.1.8.2

$256$ 와 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2048 \sqrt{3}}{9} + \frac{256 (8 \sqrt{3})}{3}$

단계 16.2.1.8.3

$8$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2048 \sqrt{3}}{9} + \frac{2048 \sqrt{3}}{3}$

단계 16.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2048 \sqrt{3}}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2048 \sqrt{3}}{9} + \frac{2048 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

단계 16.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $9$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 16.2.3.1

$\frac{2048 \sqrt{3}}{3}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2048 \sqrt{3}}{9} + \frac{2048 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

단계 16.2.3.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2048 \sqrt{3}}{9} + \frac{2048 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

단계 16.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 2048 \sqrt{3} + 2048 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

단계 16.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.2.5.1

$3$ 에 $2048$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 2048 \sqrt{3} + 6144 \sqrt{3}}{9}$

단계 16.2.5.2

$- 2048 \sqrt{3}$ 를 $6144 \sqrt{3}$ 에 더합니다.

$f (- \frac{8 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4096 \sqrt{3}}{9}$

단계 16.2.6

최종 답은 $\frac{4096 \sqrt{3}}{9}$ 입니다.

$y = \frac{4096 \sqrt{3}}{9}$

단계 17

$f (x) = 4 x^{3} - 256 x$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{8 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4096 \sqrt{3}}{9})$ 은 극솟값임

$(- \frac{8 \sqrt{3}}{3}, \frac{4096 \sqrt{3}}{9})$ 은 극댓값임

단계 18