미적분 예제

$f (x, y) = x + \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

단계 1

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$

단계 2

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 2.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$f (x, y) - x = \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $\frac{4}{x}$ 를 뺍니다.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} = - y - \frac{9}{y} + 10$

단계 2.3

방정식의 양변에 $y$ 를 더합니다.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y = - \frac{9}{y} + 10$

단계 2.4

방정식의 양변에 $\frac{9}{y}$ 를 더합니다.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} = 10$

단계 2.5

방정식의 양변에서 $10$ 를 뺍니다.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$

단계 3

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.2

행렬의 각 원소에 $f$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{4}{x}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.4.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.4.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.4.4

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.5.1

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.5.2

$\frac{9}{y}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{9}{y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{9}{y}$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.5.3

$- 10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 10$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + 0$

단계 3.6

간단히 합니다.

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단계 3.6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 \frac{1}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

단계 3.6.2

항을 묶습니다.

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단계 3.6.2.1

$4$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

단계 3.6.2.2

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0$

단계 3.6.2.3

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0$

단계 3.6.2.4

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$

단계 3.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1$

단계 4

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{x^{2}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.2.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.2.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.2.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.2.10

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

$d$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.3.2

행렬의 각 원소에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.3.3

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 4.3.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.3.1.1

$f x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.3.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.3.3.2

$\frac{1}{x} (f y)$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.3.2.1

$f$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.3.3.2.2

$\frac{f}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 4.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

단계 4.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 8 \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

단계 4.5.2

항을 묶습니다.

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단계 4.5.2.1

$- 8$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

단계 4.5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

단계 4.5.2.3

$- \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

단계 5

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1 = 0$

단계 6

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 7

극값 없음

단계 8