미적분 예제

$f (x, y) = x y + y - 16 x$

단계 1

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = f (x, y) - x y - y + 16 x$

단계 2

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 양변에서 $x y$ 를 뺍니다.

$f (x, y) - x y = y - 16 x$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$f (x, y) - x y - y = - 16 x$

단계 2.3

방정식의 양변에 $16 x$ 를 더합니다.

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$

단계 3

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $f (x, y) - x y - y + 16 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 3.2

행렬의 각 원소에 $f$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x y$ 의 미분은 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 3.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 3.4

$- y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- y$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 3.5

$\frac{d}{d x} [16 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

단계 3.5.3

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

단계 3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

단계 3.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$- y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

단계 4

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

단계 4.1.2

$- y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- y$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$d$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

단계 4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

단계 4.2.2

행렬의 각 원소에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

단계 4.2.3

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1.1

$f x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

단계 4.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

단계 4.2.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

단계 4.2.3.2

$\frac{1}{x} (f y)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.2.1

$f$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (16)$

단계 4.2.3.2.2

$\frac{f}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (16)$

단계 4.3

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

단계 4.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

단계 4.4.2

$\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

단계 5

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

단계 6

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

합의 법칙에 의해 $f (x, y) - x y - y + 16 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 6.1.2

행렬의 각 원소에 $f$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 6.1.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

$- y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x y$ 의 미분은 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 6.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 6.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 6.1.4

$- y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- y$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 6.1.5

$\frac{d}{d x} [16 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.5.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

단계 6.1.5.3

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

단계 6.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.6.1

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

단계 6.1.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

단계 6.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ 입니다.

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$

단계 7

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

단계 7.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$d$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$- y + \frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

단계 7.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$- y + \frac{1}{x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

단계 7.2.2

행렬의 각 원소에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$- y + (\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

단계 7.2.3

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.1

$f x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

단계 7.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

단계 7.2.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- y + (f, \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

단계 7.2.3.2

$\frac{1}{x} (f y)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.2.1

$f$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$- y + (f, \frac{f}{x} y) + 16 = 0$

단계 7.2.3.2.2

$\frac{f}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$- y + (f, \frac{f y}{x}) + 16 = 0$

단계 7.3

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

방정식의 양변에 $y$ 를 더합니다.

$(f, \frac{f y}{x}) + 16 = y$

단계 7.3.2

방정식의 양변에서 $16$ 를 뺍니다.

$(f, \frac{f y}{x}) = y - 16$

단계 8

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{d}{d x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$d x = 0$

단계 8.2

$d x = 0$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$d x = 0$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

단계 8.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

단계 8.2.2.1.2

$d$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = \frac{0}{x}$

단계 8.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

$0$ 을 $x$ 로 나눕니다.

$d = 0$

단계 8.3

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$y = 0$

단계 9

계산할 임계점.

$x = 0$

단계 10

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

단계 11

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$d$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

단계 11.2

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 12

1차 도함수 판정에 실패했으므로 극값이 없습니다.

극값 없음

단계 13