미적분 예제

$y = \cot (9 x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = \cot (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [9 x]$

단계 1.1.2

$\cot (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (u)$ 입니다.

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [9 x]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$- \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \csc^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.2.2

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 9 \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 9 \csc^{2} (9 x) \cdot 1$

단계 1.2.4

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 9 \csc^{2} (9 x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 \csc^{2} (9 x)$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)]$ 입니다.

$- 9 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)]$

단계 2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \csc (9 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\csc (9 x)$ 로 바꿉니다.

$- 9 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 9 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\csc (9 x)$ 로 바꿉니다.

$- 9 (2 \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

단계 2.3

$2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$- 18 (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

단계 2.4

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$- 18 \csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 2.4.2

$\csc (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 입니다.

$- 18 \csc (9 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 2.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$- 18 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 2.5

$- 1$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$18 \csc (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 2.6

$\csc (9 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$18 (\csc^{1} (9 x) \csc (9 x)) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 2.7

$\csc (9 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$18 (\csc^{1} (9 x) \csc^{1} (9 x)) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$18 {\csc (9 x)}^{1 + 1} (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 2.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$18 \csc^{2} (9 x) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 2.10

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$18 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.11

$9$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) \cdot 1$

단계 2.13

$162$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$162$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x)$ 의 미분은 $162 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x) \cot (9 x)]$ 입니다.

$162 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x) \cot (9 x)]$

단계 3.2

$f (x) = \csc^{2} (9 x)$ , $g (x) = \cot (9 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$162 (\csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot (9 x)] + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

단계 3.3

$f (x) = \cot (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$162 (\csc^{2} (9 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

단계 3.3.2

$\cot (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (u_{1})$ 입니다.

$162 (\csc^{2} (9 x) (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

단계 3.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$162 (\csc^{2} (9 x) (- \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

단계 3.4

지수를 더하여 $\csc^{2} (9 x)$ 에 $\csc^{2} (9 x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1

$\csc^{2} (9 x)$ 를 옮깁니다.

$162 (\csc^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) (- \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

단계 3.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$162 ({\csc (9 x)}^{2 + 2} (- \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

단계 3.4.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$162 (\csc^{4} (9 x) (- \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

단계 3.5

미분합니다.

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단계 3.5.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$162 (\csc^{4} (9 x) (- (9 \frac{d}{d x} [x])) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

단계 3.5.2

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$162 (\csc^{4} (9 x) (- 9 \frac{d}{d x} [x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

단계 3.5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$162 (\csc^{4} (9 x) (- 9 \cdot 1) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

단계 3.5.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.4.1

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$162 (\csc^{4} (9 x) \cdot - 9 + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

단계 3.5.4.2

$\csc^{4} (9 x)$ 의 왼쪽으로 $- 9$ 이동하기

$162 (- 9 \cdot \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

단계 3.6

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \csc (9 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\csc (9 x)$ 로 바꿉니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]))$

단계 3.6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]))$

단계 3.6.3

$u_{2}$ 를 모두 $\csc (9 x)$ 로 바꿉니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) (2 \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]))$

단계 3.7

$\cot (9 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cdot \cot (9 x) \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

단계 3.8

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\csc (u_{3})] \frac{d}{d x} [9 x]))$

단계 3.8.2

$\csc (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{3}) \cot (u_{3})$ 입니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (- \csc (u_{3}) \cot (u_{3}) \frac{d}{d x} [9 x]))$

단계 3.8.3

$u_{3}$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

단계 3.9

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

단계 3.10

$\cot (9 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 (\cot^{1} (9 x) \cot (9 x)) \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

단계 3.11

$\cot (9 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 (\cot^{1} (9 x) \cot^{1} (9 x)) \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

단계 3.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 {\cot (9 x)}^{1 + 1} \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

단계 3.13

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

단계 3.14

$\csc (9 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) (\csc^{1} (9 x) \csc (9 x)) \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 3.15

$\csc (9 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) (\csc^{1} (9 x) \csc^{1} (9 x)) \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 3.16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) {\csc (9 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 3.17

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 3.18

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.19

$9$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.20

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) \cdot 1)$

단계 3.21

$- 18$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x))$

단계 3.22

간단히 합니다.

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단계 3.22.1

분배 법칙을 적용합니다.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x)) + 162 (- 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x))$

단계 3.22.2

항을 묶습니다.

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단계 3.22.2.1

$- 9$ 에 $162$ 을 곱합니다.

$- 1458 \csc^{4} (9 x) + 162 (- 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x))$

단계 3.22.2.2

$- 18$ 에 $162$ 을 곱합니다.

$- 1458 \csc^{4} (9 x) - 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)$

단계 3.22.3

항을 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = - 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) - 1458 \csc^{4} (9 x)$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) - 1458 \csc^{4} (9 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)] + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)] + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$- 2916$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)$ 의 미분은 $- 2916 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)]$ 입니다.

$- 2916 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)] + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.2

$f (x) = \cot^{2} (9 x)$ , $g (x) = \csc^{2} (9 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)] + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \csc (9 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\csc (9 x)$ 로 바꿉니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $\csc (9 x)$ 로 바꿉니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.4

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.4.2

$\csc (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 입니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.5

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.7

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cot (9 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $\cot (9 x)$ 로 바꿉니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (9 x)])) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.7.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 는 $n {u_{3}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\cot (9 x)])) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.7.3

$u_{3}$ 를 모두 $\cot (9 x)$ 로 바꿉니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\cot (9 x)])) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.8

$f (x) = \cot (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{4}$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\cot (u_{4})] \frac{d}{d x} [9 x]))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.8.2

$\cot (u_{4})$ 를 $u_{4}$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (u_{4})$ 입니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [9 x]))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.8.3

$u_{4}$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.9

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.11

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \cdot 9)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.12

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- 9 \csc (9 x) \cot (9 x))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.13

$- 9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 \csc (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.14

$\csc (9 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 (\csc^{1} (9 x) \csc (9 x)) \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.15

$\csc (9 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 (\csc^{1} (9 x) \csc^{1} (9 x)) \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 {\csc (9 x)}^{1 + 1} \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.17

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.18

지수를 더하여 $\cot^{2} (9 x)$ 에 $\cot (9 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.18.1

$\cot (9 x)$ 를 옮깁니다.

$- 2916 (\cot (9 x) \cot^{2} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.18.2

$\cot (9 x)$ 에 $\cot^{2} (9 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.18.2.1

$\cot (9 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2916 (\cot^{1} (9 x) \cot^{2} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.18.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2916 ({\cot (9 x)}^{1 + 2} (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.18.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.19

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) \cdot 9))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.20

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- 9 \csc^{2} (9 x)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.21

$- 9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (- 18 \cot (9 x) \csc^{2} (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.22

지수를 더하여 $\csc^{2} (9 x)$ 에 $\csc^{2} (9 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.22.1

$\csc^{2} (9 x)$ 를 옮깁니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.22.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + {\csc (9 x)}^{2 + 2} (- 18 \cot (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.2.22.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1458$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 1458 \csc^{4} (9 x)$ 의 미분은 $- 1458 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (9 x)]$ 입니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (9 x)]$

단계 4.3.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \csc (9 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{5}$ 를 $\csc (9 x)$ 로 바꿉니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

단계 4.3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ 는 $n {u_{5}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 {u_{5}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

단계 4.3.2.3

$u_{5}$ 를 모두 $\csc (9 x)$ 로 바꿉니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

단계 4.3.3

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{6}$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\csc (u_{6})] \frac{d}{d x} [9 x]))$

단계 4.3.3.2

$\csc (u_{6})$ 를 $u_{6}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{6}) \cot (u_{6})$ 입니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (u_{6}) \cot (u_{6}) \frac{d}{d x} [9 x]))$

단계 4.3.3.3

$u_{6}$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

단계 4.3.4

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])))$

단계 4.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1)))$

단계 4.3.6

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \cdot 9))$

단계 4.3.7

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- 9 \csc (9 x) \cot (9 x)))$

단계 4.3.8

$- 9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 \csc^{3} (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x)))$

단계 4.3.9

$\csc (9 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 (\csc^{1} (9 x) \csc^{3} (9 x)) \cot (9 x))$

단계 4.3.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 {\csc (9 x)}^{1 + 3} \cot (9 x))$

단계 4.3.11

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x))$

단계 4.3.12

$- 36$ 에 $- 1458$ 을 곱합니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

단계 4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x))) - 2916 (\csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

단계 4.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

$- 18$ 에 $- 2916$ 을 곱합니다.

$52488 (\cot^{3} (9 x) (\csc^{2} (9 x))) - 2916 (\csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

단계 4.4.2.2

$- 18$ 에 $- 2916$ 을 곱합니다.

$52488 \cot^{3} (9 x) \csc^{2} (9 x) + 52488 (\csc^{4} (9 x) (\cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

단계 4.4.2.3

$52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$ 를 $52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 52488 \cot^{3} (9 x) \csc^{2} (9 x) + 104976 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$