미적분 예제

$y = 4 x^{3} \sqrt{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [4 (x^{\frac{1}{2}} x^{3})]$

단계 1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3}]$

단계 1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}]$

단계 1.2.4

$3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}]$

단계 1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}}]$

단계 1.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 6}{2}}]$

단계 1.2.6.2

$1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{7}{2}}]$

단계 1.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{\frac{7}{2}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

단계 1.4

$n = \frac{7}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

단계 1.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

단계 1.8.2

$7$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

단계 1.9

$\frac{7}{2}$ 와 $x^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$4 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

단계 1.10

$4$ 와 $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

단계 1.11

$7$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{28 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

단계 1.12

$28 x^{\frac{5}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

단계 1.13

공약수로 약분합니다.

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단계 1.13.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

단계 1.13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

단계 1.13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{14 x^{\frac{5}{2}}}{1}$

단계 1.13.4

$14 x^{\frac{5}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = 14 x^{\frac{5}{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$14$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $14 x^{\frac{5}{2}}$ 의 미분은 $14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 입니다.

$14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

단계 2.2

$n = \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

단계 2.6.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

단계 2.7

$\frac{5}{2}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$14 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 2.8

$14$ 와 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{14 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

단계 2.9

$5$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$\frac{70 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 2.10

$70 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

단계 2.11

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

단계 2.11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

단계 2.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

단계 2.11.4

$35 x^{\frac{3}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = 35 x^{\frac{3}{2}}$