미적분 예제

$y = \frac{1}{5 x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{5 x}$ 의 미분은 $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 1.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 1.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} (- x^{- 2})$

단계 1.4

분수를 통분합니다.

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단계 1.4.1

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{- 2}}{5}$

단계 1.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = - \frac{1}{5 x^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$- \frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{5 x^{2}}$ 의 미분은 $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

단계 2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

단계 2.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

단계 2.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

단계 2.3

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{5} (- 2 x^{- 3})$

단계 2.4

분수를 통분합니다.

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단계 2.4.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{5}) x^{- 3}$

단계 2.4.2

$2$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5} x^{- 3}$

단계 2.4.3

$\frac{2}{5}$ 와 $x^{- 3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{- 3}}{5}$

단계 2.4.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = \frac{2}{5 x^{3}}$