미적분 예제

$f (θ) = 3 \tan^{2} (θ)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$3$ 은 $θ$ 에 대해 일정하므로 $θ$ 에 대한 $3 \tan^{2} (θ)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$

단계 1.2

$f (θ) = θ^{2}$ , $g (θ) = \tan (θ)$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\tan (θ)$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 u \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $\tan (θ)$ 로 바꿉니다.

$3 (2 \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

단계 1.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 (\tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

단계 1.4

$\tan (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (θ)$ 입니다.

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$

단계 1.5

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (θ) = 6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$6$ 은 $θ$ 에 대해 일정하므로 $θ$ 에 대한 $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$

단계 2.2

$f (θ) = \sec^{2} (θ)$ , $g (θ) = \tan (θ)$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ 는 $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (\sec^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

단계 2.3

$\tan (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (θ)$ 입니다.

$6 (\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

단계 2.4

지수를 더하여 $\sec^{2} (θ)$ 에 $\sec^{2} (θ)$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 ({\sec (θ)}^{2 + 2} + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

단계 2.4.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

단계 2.5

$f (θ) = θ^{2}$ , $g (θ) = \sec (θ)$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sec (θ)$ 로 바꿉니다.

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

단계 2.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 u \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

단계 2.5.3

$u$ 를 모두 $\sec (θ)$ 로 바꿉니다.

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

단계 2.6

$\tan (θ)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \cdot \tan (θ) \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)])$

단계 2.7

$\sec (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\sec (θ) \tan (θ)$ 입니다.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ)))$

단계 2.8

$\tan (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

단계 2.9

$\tan (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

단계 2.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) \sec (θ))$

단계 2.11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec (θ) \sec (θ))$

단계 2.12

$\sec (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)))$

단계 2.13

$\sec (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)))$

단계 2.14

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1})$

단계 2.15

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

단계 2.16

간단히 합니다.

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단계 2.16.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 \sec^{4} (θ) + 6 (2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

단계 2.16.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$6 \sec^{4} (θ) + 12 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$

단계 2.16.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (θ) = 12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$

단계 3

$f (θ)$ 의 $θ$ 에 대한 2차 도함수는 $12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$ 입니다.

$12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$