미적분 예제

$y = 100 x^{\frac{1}{4}}$

단계 1

$y = 100 x^{\frac{1}{4}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 100 x^{\frac{1}{4}}$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$100$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $100 x^{\frac{1}{4}}$ 의 미분은 $100 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ 입니다.

$100 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

단계 2.1.2

$n = \frac{1}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

단계 2.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

단계 2.1.4

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

단계 2.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

단계 2.1.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

단계 2.1.6.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$100 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

단계 2.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$100 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

단계 2.1.8

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{- \frac{3}{4}}$ 을 묶습니다.

$100 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

단계 2.1.9

$100$ 와 $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{100 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

단계 2.1.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{3}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{100}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

단계 2.1.11

$100$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 25}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

단계 2.1.12

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.12.1

$4 x^{\frac{3}{4}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 25}{4 (x^{\frac{3}{4}})}$

단계 2.1.12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 25}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

단계 2.1.12.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$ 입니다.

$\frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{25}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{25}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

단계 3.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$25 = 0$

단계 3.3

$25 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 5

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

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단계 5.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{25}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

단계 5.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{25}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

단계 5.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 $4$ 승합니다.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

단계 5.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{x^{3}}$ 을(를) $x^{\frac{3}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

단계 5.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

단계 5.3.2.2.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

단계 5.3.2.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{3} = 0^{4}$

단계 5.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$x^{3} = 0$

단계 5.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.3.3.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 5.3.3.2

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 5.3.3.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 5.4

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\sqrt[4]{x^{3}}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 작게 설정해야 합니다.

$x^{3} < 0$

단계 5.5

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 부등식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

단계 5.5.2

방정식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1.1

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x < \sqrt[3]{0}$

단계 5.5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 5.5.2.2.1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x < 0$

단계 5.6

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

단계 6

도함수 $f' (x) = \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 구간에서 $f (x) = 100 x^{\frac{1}{4}}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 7

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$

단계 7.2

최종 답은 $\frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$ 입니다.

$\frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$

단계 7.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $\frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 감소함

단계 8

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = \frac{25}{{(1)}^{\frac{3}{4}}}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = \frac{25}{1}$

단계 8.2.2

$25$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (1) = 25$

단계 8.2.3

최종 답은 $25$ 입니다.

$25$

단계 8.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $25$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 9

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(0, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, 0)$

단계 10