미적분 예제

$\sec (\sin^{-1} (u))$

단계 1

평면에 $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ , $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\sin^{-1} (u)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sec (\sin^{-1} (u))$ 는 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

단계 2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$

단계 2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = u$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

단계 3

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

단계 4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

단계 4.2

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

단계 4.3

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} {\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1}}$

단계 4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

단계 4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

단계 4.6

${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ 을 $(1 + u) (1 - u)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 을(를) ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{1}}$

단계 4.6.5

간단히 합니다.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

단계 5

삼각함수 형식으로 복소수를 표현하는 방법으로, $| z |$ 는 절댓값이고 $θ$ 는 복소평면에서의 편각입니다.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

단계 6

복소수의 절대값은 복소평면에서 원점으로부터의 거리입니다.

$z = a + b i$ 일 때 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 입니다

단계 7

실제값인 $a = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ 과 $b = 0$ 를 대입합니다.

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

단계 8

$| z |$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

단계 8.2

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 8.2.1

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{((1 + u) (1 - u))}^{2}}}$

단계 8.2.2

$(1 + u) (1 - u)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ 을 $(1 + u) (1 - u)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 8.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 을(를) ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.1.5

간단히 합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + u) (1 - u)$ 를 전개합니다.

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단계 8.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 (1 - u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.3.3.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.3.1.2

$- u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.3.1.3

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u \cdot u}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.3.1.5

지수를 더하여 $u$ 에 $u$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.3.1.5.1

$u$ 를 옮깁니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - (u \cdot u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.3.1.5.2

$u$ 에 $u$ 을 곱합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.3.2

$- u$ 를 $u$ 에 더합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 0 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.3.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.4

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2} - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.3.5

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = u$ 입니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.4

공약수로 약분합니다.

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단계 8.4.1

${(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}$ 에서 $1 + u$ 를 인수분해합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

단계 8.4.2

공약수로 약분합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

단계 8.4.3

수식을 다시 씁니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.5

$1 - u$ 및 ${(1 - u)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.5.1

$1$ 을 곱합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

단계 8.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.2.1

$(1 + u) {(1 - u)}^{2}$ 에서 $1 - u$ 를 인수분해합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

단계 8.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

단계 8.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

단계 8.6

$0$ 를 $\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}$ 에 더합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

단계 8.7

$\sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 로 바꿔 씁니다.

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

단계 8.8

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

단계 8.9

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 을 곱합니다.

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

단계 8.10

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 8.10.1

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 을 곱합니다.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

단계 8.10.2

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

단계 8.10.3

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

단계 8.10.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

단계 8.10.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

단계 8.10.6

${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ 을 $(1 + u) (1 - u)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.10.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 을(를) ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 8.10.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 8.10.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.10.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.10.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.10.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

단계 8.10.6.5

간단히 합니다.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

단계 9

복소평면에서의 점의 각은 복소수 부분을 실수 부분으로 나눈 값의 역탄젠트값입니다.

$θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$

단계 10

$θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$ , $| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ 값을 대입합니다.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u) (\cos (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})) + i \sin (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})))}$