미적분 예제

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 4}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 4}$ 을(를) ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 4$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 4$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.8

분수를 통분합니다.

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단계 1.8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$x (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.8.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.9

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.11

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.12

분수를 통분합니다.

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단계 1.12.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.12.2

$2$ 와 $\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.12.3

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.13

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.14

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.15

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.16

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 1.16.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.16.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.16.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.17

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

단계 1.18

${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

단계 1.19

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.21

지수를 더하여 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.21.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.21.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.21.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.21.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{1}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.22

${(x^{2} + 4)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{x^{2} + x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.23

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = 2 x^{2} + 4$ , $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.2

${({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.3

간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.4

미분합니다.

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단계 2.4.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.4.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.4.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.4.5

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.6.1

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.4.6.2

${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 4$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

단계 2.5.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

단계 2.5.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 4$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

단계 2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

단계 2.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

단계 2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

단계 2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

단계 2.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

단계 2.10

분수를 통분합니다.

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단계 2.10.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

단계 2.10.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

단계 2.10.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

단계 2.11

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{x^{2} + 4}$

단계 2.12

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{x^{2} + 4}$

단계 2.13

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} + 4}$

단계 2.14

항을 간단히 합니다.

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단계 2.14.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} + 4}$

단계 2.14.2

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} + 4}$

단계 2.14.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.14.4

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.14.5

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.2.1.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.2

$- 2 x^{2} - 4$ 에 $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.3

$- 2 x^{2} - 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.2.3.1

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.3.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (- 2)) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.3.3

$2 (- x^{2}) + 2 (- 2)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.6

인수분해된 형태로 $\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.2.6.1

$4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.2.6.1.1

$4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.6.1.2

$2 (- x^{2} - 2) x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.6.1.3

$2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 2)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.6.2

지수를 묶습니다.

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단계 2.15.2.6.2.1

지수를 더하여 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.15.2.6.2.1.1

${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.6.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.6.2.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.6.2.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.6.2.1.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 4) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.6.2.2

$2 {(x^{2} + 4)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 4) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.15.2.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 2 \cdot 4 - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.7.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 8 - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.7.3

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 8 - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.2.7.4

$8$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.3

항을 묶습니다.

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단계 2.15.3.1

$\frac{\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}$

단계 2.15.3.2

$\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{x^{2} + 4}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4)}$

단계 2.15.3.3

지수를 더하여 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} + 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.3.3.1

${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} + 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.3.3.1.1

$x^{2} + 4$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4)}$

단계 2.15.3.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

단계 2.15.3.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

단계 2.15.3.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

단계 2.15.3.3.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{2 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 5

극값 없음

단계 6