미적분 예제

$y = \sin^{3} (\tan (5 x))$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \sin (\tan (5 x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (\tan (5 x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (\tan (5 x))]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (\tan (5 x))]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (\tan (5 x))$ 로 바꿉니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) \frac{d}{d x} [\sin (\tan (5 x))]$

단계 2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \tan (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\tan (5 x)$ 로 바꿉니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 2.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\tan (5 x)$ 로 바꿉니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 3

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 3.2

$\tan (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{3})$ 입니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 3.3

$u_{3}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) \cdot 5)$

단계 4.3.2

$\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \cdot (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$5 \cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x)))$

단계 5.2

$\sec (5 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \cos (\tan (5 x)))$

단계 5.3

$\frac{1}{\cos (5 x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x)))$

단계 5.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x)))$

단계 5.5

$5$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ 을 묶습니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x)))$

단계 5.6

$\frac{5}{\cos^{2} (5 x)}$ 와 $\cos (\tan (5 x))$ 을 묶습니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) \frac{5 \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

단계 5.7

$\cos^{2} (5 x)$ 에서 $\cos (5 x)$ 를 인수분해합니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) \frac{5 \cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x) \cos (5 x)}$

단계 5.8

분수를 나눕니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x)})$

단계 5.9

$\frac{\cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \frac{1}{\cos (5 x)}))$

단계 5.10

$\cos (\tan (5 x))$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\frac{\cos (\tan (5 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)}))$

단계 5.11

간단히 합니다.

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단계 5.11.1

$\cos (\tan (5 x))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \frac{1}{\cos (5 x)}))$

단계 5.11.2

$\frac{1}{\cos (5 x)}$ 을 $\sec (5 x)$ 로 변환합니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

단계 5.12

분수를 나눕니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

단계 5.13

$\frac{1}{\cos (5 x)}$ 을 $\sec (5 x)$ 로 변환합니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{1} \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

단계 5.14

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

단계 5.15

$5 \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x))$ 을 곱합니다.

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단계 5.15.1

$\sec (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 (\sec^{1} (5 x) \sec (5 x)) \cos (\tan (5 x)))$

단계 5.15.2

$\sec (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 (\sec^{1} (5 x) \sec^{1} (5 x)) \cos (\tan (5 x)))$

단계 5.15.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 {\sec (5 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (5 x)))$

단계 5.15.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x)))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$15 \sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x))$

단계 6.2

$15 \sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$15 \sec^{2} (5 x) \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

단계 6.3

$\sec (5 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$15 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

단계 6.4

$\frac{1}{\cos (5 x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$15 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

단계 6.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$15 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

단계 6.6

$15$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{15}{\cos^{2} (5 x)} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

단계 6.7

$\frac{15}{\cos^{2} (5 x)}$ 와 $\sin^{2} (\tan (5 x))$ 을 묶습니다.

$\frac{15 \sin^{2} (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x))$

단계 6.8

$\frac{15 \sin^{2} (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$ 와 $\cos (\tan (5 x))$ 을 묶습니다.

$\frac{15 \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

단계 6.9

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{15 (\sin^{2} (\tan (5 x)) \cdot 1) \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

단계 6.10

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{15 (\sin^{2} (\tan (5 x)) \cdot 1) \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x) \cdot 1}$

단계 6.11

분수를 나눕니다.

$\frac{15 \cdot (1) \cos (\tan (5 x))}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

단계 6.12

$\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ 을 $\sec^{2} (5 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{15 \cdot (1) \cos (\tan (5 x))}{1} (\sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x))$

단계 6.13

$15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{15 \cos (\tan (5 x))}{1} (\sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x))$

단계 6.14

$15 \cos (\tan (5 x))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$15 \cos (\tan (5 x)) \sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)$