미적분 예제

$y = \sqrt{6 + \sec (π x^{2})}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{6 + \sec (π x^{2})}$ 을(를) ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 6 + \sec (π x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $6 + \sec (π x^{2})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $6 + \sec (π x^{2})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

단계 7.2

분수를 통분합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

단계 7.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

단계 7.3

합의 법칙에 의해 $6 + \sec (π x^{2})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})])$

단계 7.4

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})])$

단계 7.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$

단계 8

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = π x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $π x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

단계 8.2

$\sec (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

단계 8.3

$u_{2}$ 를 모두 $π x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\sec (π x^{2}) \tan (π x^{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

단계 9

미분합니다.

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단계 9.1

$\sec (π x^{2})$ 와 $\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\tan (π x^{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

단계 9.2

$\tan (π x^{2})$ 와 $\frac{\sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [π x^{2}]$

단계 9.3

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π x^{2}$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (π \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 9.4

$π$ 와 $\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{π (\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 9.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

단계 9.6

항을 간단히 합니다.

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단계 9.6.1

$2$ 와 $\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} x$

단계 9.6.2

$\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})) x}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.6.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.6.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{π x \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{π x \sec (π x^{2}) \tan (π x^{2})}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$