미적분 예제

$z = w^{\frac{3}{2}} (w + c e^{w})$

단계 1

해당 도함수는 연쇄법칙을 사용하여 풀 수 없습니다. Mathway에서 다른 방법을 사용합니다.

단계 2

$f (w) = w^{\frac{3}{2}}$ , $g (w) = w + c e^{w}$ 일 때 $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ 는 $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$w^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d w} [w + c e^{w}] + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

단계 3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $w + c e^{w}$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [c e^{w}]$ 가 됩니다.

$w^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [c e^{w}]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 는 $n w^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$w^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d w} [c e^{w}]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

단계 3.3

$c$ 은 $w$ 에 대해 일정하므로 $w$ 에 대한 $c e^{w}$ 의 미분은 $c \frac{d}{d w} [e^{w}]$ 입니다.

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c \frac{d}{d w} [e^{w}]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

단계 4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d w} [a^{w}]$ 은 $a^{w} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

단계 5

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 는 $n w^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} - 1})$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 9

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3 - 2}{2}})$

단계 9.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{1}{2}})$

단계 10

$\frac{3}{2}$ 와 $w^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$w^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + (w + c e^{w}) \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$w^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 11.3

항을 묶습니다.

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단계 11.3.1

$w^{\frac{3}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 11.3.2

$w$ 와 $\frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{w (3 w^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 11.3.3

$w$ 를 $1$ 승 합니다.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 (w^{1} w^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 11.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 11.3.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 11.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 11.3.7

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 11.3.8

$\frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $c$ 을 묶습니다.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c}{2} e^{w}$

단계 11.3.9

$\frac{3 w^{\frac{1}{2}} c}{2}$ 와 $e^{w}$ 을 묶습니다.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

단계 11.3.10

공통 분모를 가지는 분수로 $w^{\frac{3}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

단계 11.3.11

$w^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{w^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

단계 11.3.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{w^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

단계 11.3.13

$w^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{2 \cdot w^{\frac{3}{2}} + 3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

단계 11.3.14

$2 w^{\frac{3}{2}}$ 를 $3 w^{\frac{3}{2}}$ 에 더합니다.

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

단계 11.4

항을 다시 정렬합니다.

$e^{w} w^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2} + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2}$