미적분 예제

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

단계 1

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

단계 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \cos (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

단계 2.1.1.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

단계 2.1.1.2.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

단계 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.1.3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 2.1.1.3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 2.1.1.3.1.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 2.1.1.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 2.1.1.3.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

단계 2.1.1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.2.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \cos (x) \sin (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.1.2.2.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.1.2.2.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.1.2.2.4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.1.2.2.5

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.1.2.2.6

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.1.2.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.1.2.2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.1.2.2.9

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.1.2.2.10

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.1.2.2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.1.2.2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.2.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \sin (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.1.2.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

단계 2.1.2.4

간단히 합니다.

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단계 2.1.2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

단계 2.1.2.4.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ 입니다.

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

단계 2.2.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$

단계 3

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = - 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f'' (0) = - 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

단계 5.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f'' (0) = - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

단계 5.2.1.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = - 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

단계 5.2.1.4

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

단계 5.2.1.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

단계 5.2.1.6

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cos (0)$

단계 5.2.1.7

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cdot 1$

단계 5.2.1.8

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2$

단계 5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (0) = - 2 - 2$

단계 5.2.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - 4$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 4$ 입니다.

$- 4$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 6