미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2}}{\cos (x) - 1}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$6$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

단계 1.2.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

단계 1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{6 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

단계 1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{6 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

단계 1.2.3.2

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

단계 1.3.1.2

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

단계 1.3.1.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

단계 1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

단계 1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

단계 1.3.3.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{1 - 1}$

단계 1.3.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2}}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

단계 3.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

단계 3.4

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{12 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

단계 3.5

합의 법칙에 의해 $\cos (x) - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{12 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

단계 3.6

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{12 x}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

단계 3.7

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{12 x}{- \sin (x) + 0}$

단계 3.8

$- \sin (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{12 x}{- \sin (x)}$

단계 4

$12$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$12 lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$12 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

단계 5.1.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$12 \frac{0}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

단계 5.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$12 \frac{0}{- lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 5.1.3.1.2

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$12 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 0} x)}$

단계 5.1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$12 \frac{0}{- \sin (0)}$

단계 5.1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.3.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$12 \frac{0}{- 0}$

단계 5.1.3.3.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$12 (\frac{0}{0})$

단계 5.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$12 (\frac{0}{0})$

단계 5.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$12 (\frac{0}{0})$

단계 5.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$12 (\frac{0}{0})$

단계 5.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$12 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

단계 5.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

단계 5.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$12 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 5.3.4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$12 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \cos (x)}$

단계 5.4

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$12 lim_{x \to 0} \frac{- 1 (- 1)}{- \cos (x)}$

단계 5.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$12 lim_{x \to 0} - \frac{1}{\cos (x)}$

단계 6

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$12 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

단계 6.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$12 \cdot - 1 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

단계 6.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$12 \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

단계 6.4

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$12 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

단계 7

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$12 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (0)}$

단계 8

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 12 \frac{1}{\cos (0)}$

단계 8.2

$\frac{1}{\cos (0)}$ 을 $\sec (0)$ 로 변환합니다.

$- 12 \sec (0)$

단계 8.3

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 12 \cdot 1$

단계 8.4

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12$