미적분 예제

$lim_{y \to 0} \frac{\sqrt{3 y + 16} - 4}{y}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{y \to 0} \sqrt{3 y + 16} - 4}{lim_{y \to 0} y}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.2.1.1

$y$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{y \to 0} \sqrt{3 y + 16} - lim_{y \to 0} 4}{lim_{y \to 0} y}$

단계 1.2.1.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{lim_{y \to 0} 3 y + 16} - lim_{y \to 0} 4}{lim_{y \to 0} y}$

단계 1.2.1.3

$y$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\sqrt{lim_{y \to 0} 3 y + lim_{y \to 0} 16} - lim_{y \to 0} 4}{lim_{y \to 0} y}$

단계 1.2.1.4

$3$ 항은 $y$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{3 lim_{y \to 0} y + lim_{y \to 0} 16} - lim_{y \to 0} 4}{lim_{y \to 0} y}$

단계 1.2.1.5

$y$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $16$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{3 lim_{y \to 0} y + 16} - lim_{y \to 0} 4}{lim_{y \to 0} y}$

단계 1.2.1.6

$y$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{3 lim_{y \to 0} y + 16} - 1 \cdot 4}{lim_{y \to 0} y}$

단계 1.2.2

$y$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 0 + 16} - 1 \cdot 4}{lim_{y \to 0} y}$

단계 1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{0 + 16} - 1 \cdot 4}{lim_{y \to 0} y}$

단계 1.2.3.1.2

$0$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{16} - 1 \cdot 4}{lim_{y \to 0} y}$

단계 1.2.3.1.3

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{4^{2}} - 1 \cdot 4}{lim_{y \to 0} y}$

단계 1.2.3.1.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{y \to 0} y}$

단계 1.2.3.1.5

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 4}{lim_{y \to 0} y}$

단계 1.2.3.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{y \to 0} y}$

단계 1.3

$y$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\sqrt{3 y + 16} - 4}{y} = lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [\sqrt{3 y + 16} - 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [\sqrt{3 y + 16} - 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $\sqrt{3 y + 16} - 4$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\sqrt{3 y + 16}] + \frac{d}{d y} [- 4]$ 가 됩니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [\sqrt{3 y + 16}] + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3

$\frac{d}{d y} [\sqrt{3 y + 16}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3 y + 16}$ 을(를) ${(3 y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [{(3 y + 16)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.2

$f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ , $g (y) = 3 y + 16$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 y + 16$ 로 바꿉니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [3 y + 16] + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [3 y + 16] + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.2.3

$u$ 를 모두 $3 y + 16$ 로 바꿉니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(3 y + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [3 y + 16] + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.3

합의 법칙에 의해 $3 y + 16$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [16]$ 가 됩니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(3 y + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [16]) + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.4

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 y$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(3 y + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [16]) + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(3 y + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [16]) + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.6

$16$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(3 y + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(3 y + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(3 y + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(3 y + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(3 y + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(3 y + 16)}^{\frac{- 1}{2}} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(3 y + 16)}^{- \frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.12

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(3 y + 16)}^{- \frac{1}{2}} (3 + 0) + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.13

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(3 y + 16)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 3 + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.14

$\frac{1}{2}$ 와 ${(3 y + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{{(3 y + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 3 + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.15

$\frac{{(3 y + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{{(3 y + 16)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.16

${(3 y + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{3 \cdot {(3 y + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.17

$3$ 에 ${(3 y + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{3 {(3 y + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.3.18

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(3 y + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{3}{2 {(3 y + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [- 4]}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.4

$- 4$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{3}{2 {(3 y + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.5

$\frac{3}{2 {(3 y + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{3}{2 {(3 y + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d y} [y]}$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{3}{2 {(3 y + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{y \to 0} \frac{3}{2 {(3 y + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

단계 5

${(3 y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{3 y + 16}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{y \to 0} \frac{3}{2 \sqrt{3 y + 16}} \cdot 1$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$\frac{3}{2 \sqrt{3 y + 16}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{y \to 0} \frac{3}{2 \sqrt{3 y + 16}}$

단계 6.2

$\frac{3}{2}$ 항은 $y$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3}{2} lim_{y \to 0} \frac{1}{\sqrt{3 y + 16}}$

단계 6.3

$y$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{y \to 0} 1}{lim_{y \to 0} \sqrt{3 y + 16}}$

단계 6.4

$y$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{y \to 0} \sqrt{3 y + 16}}$

단계 6.5

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{y \to 0} 3 y + 16}}$

단계 6.6

$y$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{y \to 0} 3 y + lim_{y \to 0} 16}}$

단계 6.7

$3$ 항은 $y$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 lim_{y \to 0} y + lim_{y \to 0} 16}}$

단계 6.8

$y$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $16$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 lim_{y \to 0} y + 16}}$

단계 7

$y$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 \cdot 0 + 16}}$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 16}}$

단계 8.1.2

$0$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{16}}$

단계 8.1.3

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

단계 8.1.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}$

단계 8.2

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 \cdot 4}$

단계 8.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{8}$