미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{\sin (7 x)}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (6 x)}{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} 6 x)}{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}$

단계 1.2.1.2

$6$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\tan (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}$

단계 1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\tan (6 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}$

단계 1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}$

단계 1.2.3.2

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 7 x)}$

단계 1.3.1.2

$7$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{\sin (7 lim_{x \to 0} x)}$

단계 1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{\sin (7 \cdot 0)}$

단계 1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{\sin (0)}$

단계 1.3.3.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{\sin (7 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (6 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (6 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}$

단계 3.2

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}$

단계 3.2.2

$\tan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}$

단계 3.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (6 x) (6 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}$

단계 3.5

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (6 x) \cdot 6}{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}$

단계 3.6

$\sec^{2} (6 x)$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{6 \cdot \sec^{2} (6 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}$

단계 3.7

$6$ 에 $\sec^{2} (6 x)$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}$

단계 3.8

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $7 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [7 x]}$

단계 3.8.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [7 x]}$

단계 3.8.3

$u$ 를 모두 $7 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 x)}{\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}$

단계 3.9

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 x)}{\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])}$

단계 3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 x)}{\cos (7 x) (7 \cdot 1)}$

단계 3.11

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 x)}{\cos (7 x) \cdot 7}$

단계 3.12

$\cos (7 x)$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 x)}{7 \cdot \cos (7 x)}$

단계 3.13

$7$ 에 $\cos (7 x)$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 x)}{7 \cos (7 x)}$

단계 4

$\frac{6}{7}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{6}{7} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (6 x)}{\cos (7 x)}$

단계 5

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (6 x)}{lim_{x \to 0} \cos (7 x)}$

단계 6

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\sec^{2} (6 x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \sec (6 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (7 x)}$

단계 7

시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 6 x)}{lim_{x \to 0} \cos (7 x)}$

단계 8

$6$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{\sec^{2} (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (7 x)}$

단계 9

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{\sec^{2} (6 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 7 x)}$

단계 10

$7$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{\sec^{2} (6 lim_{x \to 0} x)}{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

단계 11

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{\sec^{2} (6 \cdot 0)}{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

단계 11.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{\sec^{2} (6 \cdot 0)}{\cos (7 \cdot 0)}$

단계 12

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

조합합니다.

$\frac{6 \sec^{2} (6 \cdot 0)}{7 \cos (7 \cdot 0)}$

단계 12.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{6 \sec^{2} (0)}{7 \cos (7 \cdot 0)}$

단계 12.2.2

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{6 \cdot 1^{2}}{7 \cos (7 \cdot 0)}$

단계 12.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{6 \cdot 1}{7 \cos (7 \cdot 0)}$

단계 12.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{6 \cdot 1}{7 \cos (0)}$

단계 12.3.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{6 \cdot 1}{7 \cdot 1}$

단계 12.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{7 \cdot 1}$

단계 12.5

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{7}$