미적분 예제

$y = 1 - 9 x^{2}$ , $y = 0$

단계 1

입체의 부피를 구하려면, 먼저 조각으로 나누어진 각 부분의 넓이를 정의하고 전체 영역에 대해 적분합니다. 각 부분의 넓이는 원의 넓이, $A = π r^{2}$ 이며 여기에서 반지름은 $f (x)$ 입니다.

$f (x) = - 9 x^{2} + 1$ 일 때 $V = π \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} {(f (x))}^{2} d x$ 입니다

단계 2

피적분함수를 간단히 합니다.

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단계 2.1

${(- 9 x^{2} + 1)}^{2}$ 을 $(- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$V = (- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$

단계 2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2} + 1) + 1 (- 9 x^{2} + 1)$

단계 2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2} + 1)$

단계 2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2} x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$V = - 9 \cdot (- 9 (x^{2} x^{2})) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2 + 2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{4}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.3

$- 9$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.4

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.5

$- 9 x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.6

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 1$

단계 2.3.2

$- 9 x^{2}$ 에서 $9 x^{2}$ 을 뺍니다.

$V = 81 x^{4} - 18 x^{2} + 1$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$V = π (\int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} 81 x^{4} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

단계 4

$81$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $81$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (81 \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} x^{4} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$V = π (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

단계 6

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

단계 7

$- 18$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 18$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

단계 9

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 11.1

$0.\overline{3}$ , $- 0.\overline{3}$ 일 때, $\frac{x^{5}}{5}$ 값을 계산합니다.

$V = π (81 ((\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5}) - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

단계 11.2

$0.\overline{3}$ , $- 0.\overline{3}$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$V = π (81 (\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

단계 11.3

$0.\overline{3}$ , $- 0.\overline{3}$ 일 때, $x$ 값을 계산합니다.

$V = π (81 (\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4

간단히 합니다.

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단계 11.4.1

$0.\overline{3}$ 를 $5$ 승 합니다.

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.2

$- 0.\overline{3}$ 를 $5$ 승 합니다.

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} - \frac{- 0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + \frac{0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + 1 (\frac{0.00411522}{5})) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.5

$\frac{0.00411522}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + \frac{0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (81 (\frac{0.00411522 + 0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.7

$0.00411522$ 를 $0.00411522$ 에 더합니다.

$V = π (81 (\frac{0.00823045}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.8

$81$ 와 $\frac{0.00823045}{5}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{81 \cdot 0.00823045}{5} - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.9

$81$ 에 $0.00823045$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.10

$0.\overline{3}$ 를 $3$ 승 합니다.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.11

$- 0.\overline{3}$ 를 $3$ 승 합니다.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} - \frac{- 0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + \frac{0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.13

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + 1 (\frac{0.03703703}{3})) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.14

$\frac{0.03703703}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + \frac{0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 \frac{0.03703703 + 0.03703703}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.16

$0.03703703$ 를 $0.03703703$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.07407407}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.17

$- 18$ 와 $\frac{0.07407407}{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} + \frac{- 18 \cdot 0.07407407}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.18

$- 18$ 에 $0.07407407$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} + \frac{- 1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.19

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - \frac{1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.20

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{0.66666666}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.21

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1.33333333}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.22

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 11.4.22.1

$\frac{0.66666666}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.22.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.22.3

$\frac{1.33333333}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.22.4

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.23

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3 - 1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.24

$0.66666666$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{2 - 1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.25

$- 1.33333333$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{2 - 6.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.26

$2$ 에서 $6.66666666$ 을 뺍니다.

$V = π (\frac{- 4.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.27

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

단계 11.4.28

$0.\overline{3}$ 를 $0.\overline{3}$ 에 더합니다.

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{6})$

단계 11.4.29

공통 분모를 가지는 분수로 $0.\overline{6}$ 을 표현하기 위해 $\frac{15}{15}$ 을 곱합니다.

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{6} \cdot \frac{15}{15})$

단계 11.4.30

$0.\overline{6}$ 와 $\frac{15}{15}$ 을 묶습니다.

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + \frac{0.\overline{6} \cdot 15}{15})$

단계 11.4.31

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{- 4.66666666 + 0.\overline{6} \cdot 15}{15})$

단계 11.4.32

$0.\overline{6}$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{- 4.66666666 + 10}{15})$

단계 11.4.33

$- 4.66666666$ 를 $10$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{5.33333333}{15})$

단계 11.4.34

$π$ 와 $\frac{5.33333333}{15}$ 을 묶습니다.

$V = \frac{π \cdot 5.33333333}{15}$

단계 11.4.35

$π$ 에 $5.33333333$ 을 곱합니다.

$V = \frac{16.75516081}{15}$

단계 12

$16.75516081$ 을 $15$ 로 나눕니다.

$V = 1.11701072$

단계 13