미적분 예제

$16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

단계 1

$16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

단계 4

$16$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $16$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$16 \int \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

단계 5

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (x)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$16 \int \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

단계 6

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (x)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$16 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 에 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 을 곱합니다.

$16 \int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

단계 7.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$16 \int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

단계 8

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$16 (\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x)$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{1}{4}$ 와 $16$ 을 묶습니다.

$\frac{16}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

단계 9.2

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 4}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

단계 9.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

단계 9.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

단계 9.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{1} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

단계 9.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

단계 10

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 10.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 10.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 10.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$4 \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 11

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

단계 12

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 12.1.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 12.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 12.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 12.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{1} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 12.1.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 12.2

$(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 12.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 12.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 12.2.4

$\cos (u_{1})$ 를 옮깁니다.

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 12.2.5

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 12.2.6

$\cos (u_{1})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 12.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 12.2.8

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 12.2.9

$\cos (u_{1})$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 12.2.10

$\cos (u_{1})$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

단계 12.2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

단계 12.2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 12.2.13

$\cos (u_{1})$ 에서 $\cos (u_{1})$ 을 뺍니다.

$2 \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 12.2.14

$0$ 에서 $\cos^{2} (u_{1})$ 을 뺍니다.

$2 \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 13

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

단계 14

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

단계 15

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

단계 16

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (u_{1})$ 를 $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

단계 17

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

단계 18

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

단계 19

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

단계 20

먼저 $u_{2} = 2 u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1.1

$2 u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

단계 20.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 u_{1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 20.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 20.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 20.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

단계 21

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

단계 22

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

단계 23

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

단계 24

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1

간단히 합니다.

$2 (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

단계 24.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $u_{1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

단계 24.2.2

$u_{1}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

단계 24.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

단계 24.2.4

$u_{1}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

단계 24.2.5

$2 u_{1}$ 에서 $u_{1}$ 을 뺍니다.

$2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

단계 25

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.1

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

단계 25.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 u_{1}$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

단계 25.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

단계 26

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 26.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 26.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 26.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

단계 26.1.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 (x - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

단계 26.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (x - \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

단계 26.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x + 2 (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

단계 26.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 26.3.1

$- \frac{\sin (4 x)}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{4} + C$

단계 26.3.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{2 (2)} + C$

단계 26.3.3

공약수로 약분합니다.

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{2 \cdot 2} + C$

단계 26.3.4

수식을 다시 씁니다.

$2 x + \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

단계 26.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 x - \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

단계 27

항을 다시 정렬합니다.

$2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x) + C$

단계 28

답은 함수 $f (x) = 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x) + C$