미적분 예제

$f (x) = 27 x^{3} - 9 x + 4$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $27 x^{3} - 9 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [27 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [27 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [27 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$27$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $27 x^{3}$ 의 미분은 $27 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$27 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$27 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$81 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 x$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$81 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$81 x^{2} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.3.3

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 x^{2} - 9 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$81 x^{2} - 9 + 0$

단계 1.1.4.2

$81 x^{2} - 9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 81 x^{2} - 9$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $81 x^{2} - 9$ 입니다.

$81 x^{2} - 9$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $81 x^{2} - 9 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$81 x^{2} - 9 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에 $9$ 를 더합니다.

$81 x^{2} = 9$

단계 2.3

$81 x^{2} = 9$ 의 각 항을 $81$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$81 x^{2} = 9$ 의 각 항을 $81$ 로 나눕니다.

$\frac{81 x^{2}}{81} = \frac{9}{81}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$81$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{81 x^{2}}{81} = \frac{9}{81}$

단계 2.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{9}{81}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$9$ 및 $81$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.1

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} = \frac{9 (1)}{81}$

단계 2.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.2.1

$81$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}$

단계 2.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}$

단계 2.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} = \frac{1}{9}$

단계 2.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

단계 2.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$\sqrt{\frac{1}{9}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

단계 2.5.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

단계 2.5.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

단계 2.5.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{1}{3}$

단계 2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{1}{3}$

단계 2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{1}{3}$

단계 2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $27 x^{3} - 9 x + 4$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = \frac{1}{3}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $\frac{1}{3}$ 를 대입합니다.

$27 {(\frac{1}{3})}^{3} - 9 (\frac{1}{3}) + 4$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$27 \frac{1^{3}}{3^{3}} - 9 (\frac{1}{3}) + 4$

단계 4.1.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$27 \frac{1}{3^{3}} - 9 (\frac{1}{3}) + 4$

단계 4.1.2.1.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 (\frac{1}{27}) - 9 (\frac{1}{3}) + 4$

단계 4.1.2.1.4

$27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$27 (\frac{1}{27}) - 9 (\frac{1}{3}) + 4$

단계 4.1.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$1 - 9 (\frac{1}{3}) + 4$

단계 4.1.2.1.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.5.1

$- 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$1 + 3 (- 3) \frac{1}{3} + 4$

단계 4.1.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$1 + 3 \cdot - 3 \frac{1}{3} + 4$

단계 4.1.2.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$1 - 3 + 4$

단계 4.1.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- 2 + 4$

단계 4.1.2.2.2

$- 2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$2$

단계 4.2

$x = - \frac{1}{3}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $- \frac{1}{3}$ 를 대입합니다.

$27 {(- \frac{1}{3})}^{3} - 9 (- \frac{1}{3}) + 4$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.1

$- \frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$27 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - 9 (- \frac{1}{3}) + 4$

단계 4.2.2.1.1.2

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$27 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}) - 9 (- \frac{1}{3}) + 4$

단계 4.2.2.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - 9 (- \frac{1}{3}) + 4$

단계 4.2.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$27 (- \frac{1}{3^{3}}) - 9 (- \frac{1}{3}) + 4$

단계 4.2.2.1.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 (- \frac{1}{27}) - 9 (- \frac{1}{3}) + 4$

단계 4.2.2.1.5

$27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.5.1

$- \frac{1}{27}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$27 (\frac{- 1}{27}) - 9 (- \frac{1}{3}) + 4$

단계 4.2.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$27 (\frac{- 1}{27}) - 9 (- \frac{1}{3}) + 4$

단계 4.2.2.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 - 9 (- \frac{1}{3}) + 4$

단계 4.2.2.1.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.6.1

$- \frac{1}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 1 - 9 (\frac{- 1}{3}) + 4$

단계 4.2.2.1.6.2

$- 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 1 + 3 (- 3) \frac{- 1}{3} + 4$

단계 4.2.2.1.6.3

공약수로 약분합니다.

$- 1 + 3 \cdot - 3 \frac{- 1}{3} + 4$

단계 4.2.2.1.6.4

수식을 다시 씁니다.

$- 1 - 3 \cdot - 1 + 4$

단계 4.2.2.1.7

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 1 + 3 + 4$

단계 4.2.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2 + 4$

단계 4.2.2.2.2

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$6$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(\frac{1}{3}, 2), (- \frac{1}{3}, 6)$

단계 5