미적분 예제

$y = x \ln (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \ln (x) \cdot 1$

단계 1.1.3.4

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $1 + \ln (x)$ 입니다.

$1 + \ln (x)$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $1 + \ln (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$1 + \ln (x) = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\ln (x) = - 1$

단계 2.3

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

단계 2.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x) = - 1$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 1} = x$

단계 2.5

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.1

$x = e^{- 1}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x = e^{- 1}$

단계 2.5.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x = \frac{1}{e}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\ln (x)$ 의 진수를 $0$ 보다 같거나 작게 설정해야 합니다.

$x \leq 0$

단계 3.2

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x \ln (x)$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = \frac{1}{e}$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $\frac{1}{e}$ 를 대입합니다.

$(\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

$\frac{1}{e}$ 을 $1 e^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{e} \ln (1 e^{- 1})$

단계 4.1.2.2

$\ln (1 e^{- 1})$ 을 $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{e} (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

단계 4.1.2.3

로그 공식을 이용해 지수에서 $- 1$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$\frac{1}{e} (\ln (1) - \ln (e))$

단계 4.1.2.4

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{e} (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

단계 4.1.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e} (\ln (1) - 1)$

단계 4.1.2.6

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{e} (0 - 1)$

단계 4.1.2.7

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{e} \cdot - 1$

단계 4.1.2.8

$\frac{1}{e}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{- 1}{e}$

단계 4.1.2.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{e}$

단계 4.2

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$(0) \ln (0)$

단계 4.2.2

0의 자연로그는 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$

단계 5