미적분 예제

$f (x) = 8 + 4 e^{0.5 x}$ , $[- 3, 3]$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$8 + 4 e^{0.5 x} = 0$

단계 1.2

$8 + 4 e^{0.5 x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$4 e^{0.5 x} = - 8$

단계 1.2.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (4 e^{0.5 x}) = \ln (- 8)$

단계 1.2.3

$\ln (- 8)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 1.2.4

$4 e^{0.5 x} = - 8$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x - \int_{- 3}^{3} 0 d x$

단계 3

$- 3$ 과(와) $3$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} - (0) d x$

단계 3.2

$8 + 4 e^{0.5 x}$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 3}^{3} 8 d x + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

단계 3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$8 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

단계 3.5

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 3}^{3} e^{0.5 x} d x$

단계 3.6

먼저 $u = 0.5 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 0.5 d x$ 이므로 $\frac{1}{0.5} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$u = 0.5 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

$0.5 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [0.5 x]$

단계 3.6.1.2

$0.5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $0.5 x$ 의 미분은 $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0.5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0.5 \cdot 1$

단계 3.6.1.4

$0.5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0.5$

단계 3.6.2

$u = 0.5 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0.5 \cdot - 3$

단계 3.6.3

$0.5$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 1.5$

단계 3.6.4

$u = 0.5 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 0.5 \cdot 3$

단계 3.6.5

$0.5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 1.5$

단계 3.6.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 1.5$

$u_{upper} = 1.5$

단계 3.6.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} \frac{1}{0.5} d u$

단계 3.7

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{0.5}$ 을 묶습니다.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} \frac{e^{u}}{0.5} d u$

단계 3.8

$\frac{1}{0.5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{0.5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 (\frac{1}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u)$

단계 3.9

$\frac{1}{0.5}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u$

단계 3.10

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

단계 3.11

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1

$3$ , $- 3$ 일 때, $8 x$ 값을 계산합니다.

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

단계 3.11.2

$1.5$ , $- 1.5$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

단계 3.11.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.3.1

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$24 - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

단계 3.11.3.2

$- 8$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$24 + 24 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

단계 3.11.3.3

$24$ 를 $24$ 에 더합니다.

$48 + \frac{4}{0.5} (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

단계 3.12

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1

$4$ 을 $0.5$ 로 나눕니다.

$48 + 8 (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

단계 3.12.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$48 + 8 (e^{1.5} - \frac{1}{e^{1.5}})$

단계 3.12.3

분배 법칙을 적용합니다.

$48 + 8 e^{1.5} + 8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$

단계 3.12.4

$8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.1

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$48 + 8 e^{1.5} - 8 \frac{1}{e^{1.5}}$

단계 3.12.4.2

$- 8$ 와 $\frac{1}{e^{1.5}}$ 을 묶습니다.

$48 + 8 e^{1.5} + \frac{- 8}{e^{1.5}}$

단계 3.12.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$48 + 8 e^{1.5} - \frac{8}{e^{1.5}}$

단계 4