미적분 예제

$f (x) = 5 x^{4} + 4 x^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $5 x^{4} + 4 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{4}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

단계 1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

단계 1.1.2.3

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$20 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 20 x^{3} + 12 x^{2}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $20 x^{3} + 12 x^{2}$ 입니다.

$20 x^{3} + 12 x^{2}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $20 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$20 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

단계 2.2

$20 x^{3} + 12 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$20 x^{3}$ 에서 $4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{2} (5 x) + 12 x^{2} = 0$

단계 2.2.2

$12 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{2} (5 x) + 4 x^{2} (3) = 0$

단계 2.2.3

$4 x^{2} (5 x) + 4 x^{2} (3)$ 에서 $4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{2} (5 x + 3) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$5 x + 3 = 0$

단계 2.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 2.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 2.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 2.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.5

$5 x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$5 x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$5 x + 3 = 0$

단계 2.5.2

$5 x + 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.2.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$5 x = - 3$

단계 2.5.2.2

$5 x = - 3$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.2.1

$5 x = - 3$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 3}{5}$

단계 2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.2.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 3}{5}$

단계 2.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 3}{5}$

단계 2.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{3}{5}$

단계 2.6

$4 x^{2} (5 x + 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - \frac{3}{5}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0, - \frac{3}{5}$ 입니다.

$0, - \frac{3}{5}$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - \frac{3}{5}) \cup (- \frac{3}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - \frac{3}{5})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.6$ 을 대입합니다.

$f' (- 1.6) = 20 {(- 1.6)}^{3} + 12 {(- 1.6)}^{2}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 1.6$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 1.6) = 20 \cdot - 4.096 + 12 {(- 1.6)}^{2}$

단계 5.2.1.2

$20$ 에 $- 4.096$ 을 곱합니다.

$f' (- 1.6) = - 81.92 + 12 {(- 1.6)}^{2}$

단계 5.2.1.3

$- 1.6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1.6) = - 81.92 + 12 \cdot 2.56$

단계 5.2.1.4

$12$ 에 $2.56$ 을 곱합니다.

$f' (- 1.6) = - 81.92 + 30.72$

단계 5.2.2

$- 81.92$ 를 $30.72$ 에 더합니다.

$f' (- 1.6) = - 51.2$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 51.2$ 입니다.

$- 51.2$

단계 5.3

$x = - 1.6$ 에서의 도함수는 $- 51.2$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - \frac{3}{5})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - \frac{3}{5})$ 에서 감소함

단계 6

$(- 0.6, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.3$ 을 대입합니다.

$f' (- 0.3) = 20 {(- 0.3)}^{3} + 12 {(- 0.3)}^{2}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$- 0.3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 0.3) = 20 \cdot - 0.027 + 12 {(- 0.3)}^{2}$

단계 6.2.1.2

$20$ 에 $- 0.027$ 을 곱합니다.

$f' (- 0.3) = - 0.54 + 12 {(- 0.3)}^{2}$

단계 6.2.1.3

$- 0.3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 0.3) = - 0.54 + 12 \cdot 0.09$

단계 6.2.1.4

$12$ 에 $0.09$ 을 곱합니다.

$f' (- 0.3) = - 0.54 + 1.08$

단계 6.2.2

$- 0.54$ 를 $1.08$ 에 더합니다.

$f' (- 0.3) = 0.54$

단계 6.2.3

최종 답은 $0.54$ 입니다.

$0.54$

단계 6.3

$x = - 0.3$ 에서의 도함수는 $0.54$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 0.6, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \frac{3}{5}, 0)$ 에서 증가함

단계 7

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = 20 {(1)}^{3} + 12 {(1)}^{2}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 20 \cdot 1 + 12 {(1)}^{2}$

단계 7.2.1.2

$20$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 20 + 12 {(1)}^{2}$

단계 7.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 20 + 12 \cdot 1$

단계 7.2.1.4

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 20 + 12$

단계 7.2.2

$20$ 를 $12$ 에 더합니다.

$f' (1) = 32$

단계 7.2.3

최종 답은 $32$ 입니다.

$32$

단계 7.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $32$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \frac{3}{5}, 0), (0, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - \frac{3}{5})$

단계 9