미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ , $[1, 4]$

단계 1

만약 $f$ 가 $[a, b]$ 구간에서 연속이며 $(a, b)$ 에서 미분가능하면, $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 가 되도록 하는 최소 하나의 실수 $c$ 가 $(a, b)$ 구간에 존재합니다. 평균값 정리는 $x = c$ 에서 곡선의 접선의 기울기와 $(a, f (a))$ 와 $(b, f (b))$ 점을 지나는 직선의 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.

$f (x)$ 가 $[a, b]$ 에서 연속인 경우

그리고 $f (x)$ 가 $(a, b)$ 구간에서 미분가능한 경우,

그러면 $[a, b]$ 에 적어도 하나의 점 $c$ 이 존재합니다: $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

단계 2

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

함수가 $[1, 4]$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x}{x + 2}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x + 2 = 0$

단계 2.1.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 2.1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq - 2}$

구간 표기:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq - 2}$

단계 2.2

$f (x)$ 는 $[1, 4]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 3

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.1.2.2

$x + 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.1.2.5

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.1.2.6

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.1.2.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.1.2.6.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.1.2.6.4

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 4

도함수가 $(1, 4)$ 에서 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

함수가 $(1, 4)$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x + 2)}^{2} = 0$

단계 4.1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 4.1.2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 4.1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq - 2}$

구간 표기:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq - 2}$

단계 4.2

$f' (x)$ 는 $(1, 4)$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 5

도함수가 $(1, 4)$ 에서 연속이므로 이 함수는 $(1, 4)$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 6

$f (x)$ 는 중간값 정리의 두 가지 조건을 만족합니다. $[1, 4]$ 에서 연속이고 $(1, 4)$ 에서 미분가능합니다.

$f (x)$ 는 $[1, 4]$ 에서 연속이며 $(1, 4)$ 에서 미분가능합니다.

단계 7

$[1, 4]$ 구간의 $f (a)$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \frac{1}{(1) + 2}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (1) = \frac{1}{3}$

단계 7.2.2

최종 답은 $\frac{1}{3}$ 입니다.

$\frac{1}{3}$

단계 8

$[1, 4]$ 구간의 $f (b)$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f (4) = \frac{4}{(4) + 2}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$4$ 및 $(4) + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{4 + 2}$

단계 8.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (2) + 2}$

단계 8.2.1.2.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 1}$

단계 8.2.1.2.3

$2 \cdot 2 + 2 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

단계 8.2.1.2.4

공약수로 약분합니다.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

단계 8.2.1.2.5

수식을 다시 씁니다.

$f (4) = \frac{2}{2 + 1}$

단계 8.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (4) = \frac{2}{3}$

단계 8.2.3

최종 답은 $\frac{2}{3}$ 입니다.

$\frac{2}{3}$

단계 9

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ 를 $x$ 에 대해 풉니다. $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (1))}{- (4 + 1)}$ .

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단계 9.1

각 항을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$- 1$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

단계 9.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 1}{3}}{(4) - (1)}$

단계 9.1.3

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

단계 9.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{4 - 1}$

단계 9.1.5

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{3}$

단계 9.1.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

단계 9.1.7

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.7.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

단계 9.1.7.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$

단계 9.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

${(x + 2)}^{2}, 9$

단계 9.2.2

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 9.2.3

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 9.2.4

$9$ 의 인수는 $3$ 와 $3$ 입니다.

$3 \cdot 3$

단계 9.2.5

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9$

단계 9.2.6

$x + 2$ 의 인수는 $(x + 2) \cdot (x + 2)$ 이며 $x + 2$ 를 $2$ 번 곱한 값입니다.

$(x + 2) = (x + 2) \cdot (x + 2)$

$(x + 2)$ 는 $2$ 번 나타납니다.

단계 9.2.7

${(x + 2)}^{2}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

${(x + 2)}^{2}$

단계 9.2.8

임의의 숫자 $LCM$ 의 최소공배수는 해당 숫자가 인수인 가장 작은 숫자입니다.

$9 {(x + 2)}^{2}$

단계 9.3

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ 의 각 항에 $9 {(x + 2)}^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ 의 각 항에 $9 {(x + 2)}^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} (9 {(x + 2)}^{2}) = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

단계 9.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

단계 9.3.2.2

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.2.1

$9$ 와 $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{9 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

단계 9.3.2.2.2

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

단계 9.3.2.3

${(x + 2)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

단계 9.3.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

단계 9.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1.1

$9 {(x + 2)}^{2}$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$18 = \frac{1}{9} (9 ({(x + 2)}^{2}))$

단계 9.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

단계 9.3.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$18 = {(x + 2)}^{2}$

단계 9.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

${(x + 2)}^{2} = 18$ 로 방정식을 다시 씁니다.

${(x + 2)}^{2} = 18$

단계 9.4.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x + 2 = \pm \sqrt{18}$

단계 9.4.3

$\pm \sqrt{18}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.3.1

$18$ 을 $3^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.3.1.1

$18$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x + 2 = \pm \sqrt{9 (2)}$

단계 9.4.3.1.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x + 2 = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

단계 9.4.3.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x + 2 = \pm 3 \sqrt{2}$

단계 9.4.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x + 2 = 3 \sqrt{2}$

단계 9.4.4.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = 3 \sqrt{2} - 2$

단계 9.4.4.3

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x + 2 = - 3 \sqrt{2}$

단계 9.4.4.4

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$

단계 9.4.4.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 3 \sqrt{2} - 2, - 3 \sqrt{2} - 2$

단계 10

$x = 3 \sqrt{2} - 2$ 에서 끝점 $a = 1$ 과 $b = 4$ 을 지나는 직선에 평행한 접선이 존재합니다.

단계 11

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$ 에서 끝점 $a = 1$ 과 $b = 4$ 을 지나는 직선에 평행한 접선이 존재합니다.

단계 12