미적분 예제

$y = \ln (9 + \ln (x))$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 9 + \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $9 + \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

단계 1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $9 + \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $9 + \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 1.2.2

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 1.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \cdot \frac{1}{x}$

단계 1.4

$\frac{1}{9 + \ln (x)}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(9 + \ln (x)) x}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{9 x + \ln (x) x}$

단계 1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{x \ln (x) + 9 x}$

단계 1.5.3

$x \ln (x) + 9 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.5.3.1

$x \ln (x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x (\ln (x)) + 9 x}$

단계 1.5.3.2

$9 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x (\ln (x)) + x \cdot 9}$

단계 1.5.3.3

$x (\ln (x)) + x \cdot 9$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$ 을 ${(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x (\ln (x) + 9)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x (\ln (x) + 9)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

단계 2.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x (\ln (x) + 9)$ 로 바꿉니다.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

단계 2.3

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x) + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x) + 9] + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4

합의 법칙에 의해 $\ln (x) + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.5

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.6

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + 0) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.6.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

$\frac{1}{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.6.2.2

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.6.2.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.6.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \cdot 1)$

단계 2.6.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.4.1

$\ln (x) + 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + \ln (x) + 9)$

단계 2.6.4.2

$1$ 를 $9$ 에 더합니다.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (10 + \ln (x))$

단계 2.7

간단히 합니다.

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단계 2.7.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{{(x (\ln (x) + 9))}^{2}} (10 + \ln (x))$

단계 2.7.2

$x (\ln (x) + 9)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$

단계 2.7.3

$- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (10 + \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

단계 2.7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$(- 1 \cdot 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

단계 2.7.5

$- 1$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$(- 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

단계 2.7.6

$- 10 - \ln (x)$ 에 $\frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 10 - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

단계 2.7.7

$- 10 - \ln (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.7.7.1

$- 10$ 을 $- 1 (10)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (10) - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

단계 2.7.7.2

$- \ln (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (10) - (\ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

단계 2.7.7.3

$- 1 (10) - (\ln (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

단계 2.7.7.4

$- 1 (10 + \ln (x))$ 을 $- (10 + \ln (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

단계 2.7.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{10 + \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$