미적분 예제

$y = \cot (x) + 3 x^{2}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\cot (x) + 3 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

단계 1.2

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$- \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- \csc^{2} (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \csc^{2} (x) + 3 (2 x)$

단계 1.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \csc^{2} (x) + 6 x$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 6 x - \csc^{2} (x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $6 x - \csc^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

단계 2.2.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \csc^{2} (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ 입니다.

$6 - \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \csc (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\csc (x)$ 로 바꿉니다.

$6 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

단계 2.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 - (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $\csc (x)$ 로 바꿉니다.

$6 - (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

단계 2.3.3

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$6 - (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

단계 2.3.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 - (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

단계 2.3.5

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 - (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x))$

단계 2.3.6

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 - (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x))$

단계 2.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 - (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x))$

단계 2.3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 - (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x))$

단계 2.3.9

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 + 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

단계 2.4

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x) + 6$