미적분 예제

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{7^{n}}{4^{n + 3}}$

단계 1

공식 $\frac{a}{1 - r}$ 을 사용하여 무한 기하급수의 합을 구할 수 있습니다. 여기서 $a$ 은 첫 번째 항이고 $r$ 는 연속 항 간의 비율입니다.

단계 2

공식 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ 에 대입하고 간단히 정리하여 연속 항의 비율을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a_{n}$ , $a_{n + 1}$ 을 $r$ 공식에 대입합니다.

$r = \frac{\frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}}}{\frac{7^{n}}{4^{n + 3}}}$

단계 2.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$r = \frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}} \cdot \frac{4^{n + 3}}{7^{n}}$

단계 2.2.2

조합합니다.

$r = \frac{7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

단계 2.2.3

$7^{n + 1}$ 및 $7^{n}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}$ 에서 $7^{n}$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

단계 2.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

$4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}$ 에서 $7^{n}$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

단계 2.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

단계 2.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3}}$

단계 2.2.4

$4^{n + 3}$ 및 $4^{n + 1 + 3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$7 \cdot 4^{n + 3}$ 에서 $4^{n + 1 + 3}$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3}}$

단계 2.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

단계 2.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

단계 2.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}}{1}$

단계 2.2.4.2.4

$7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$

단계 2.2.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.5.1

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 4)}$

단계 2.2.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 1 \cdot 4}$

단계 2.2.5.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 4}$

단계 2.2.6

$n + 3 - n - 4$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 2.2.6.1

$n$ 에서 $n$ 을 뺍니다.

$r = 7 \cdot 4^{0 + 3 - 4}$

단계 2.2.6.2

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$r = 7 \cdot 4^{3 - 4}$

단계 2.2.7

$3$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$r = 7 \cdot 4^{- 1}$

단계 2.2.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$r = 7 \cdot \frac{1}{4}$

단계 2.2.9

$7$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$r = \frac{7}{4}$

단계 3

Check if the series is convergent or divergent.

Since $| r | \geq 1$ , the series diverges.