미적분 예제

$x^{- 3} \ln (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x^{- 3}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{- 3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 1.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x^{- 3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 1.1.3

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.3.1

$x^{- 3}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{- 3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 1.1.3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{x \cdot x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 1.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.1

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{x^{1} x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 1.1.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{x^{1 + 3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 1.1.4.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 1.1.5

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) (- 3 x^{- 4})$

단계 1.1.6

간단히 합니다.

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단계 1.1.6.1

항을 다시 정렬합니다.

$- 3 x^{- 4} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

단계 1.1.6.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.6.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 3 \frac{1}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

단계 1.1.6.2.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

단계 1.1.6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

단계 1.1.6.2.4

$\ln (x)$ 와 $\frac{3}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (x) \cdot 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

단계 1.1.6.2.5

$\ln (x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f' (x) = - \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$ 입니다.

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $\frac{1}{x^{4}}$ 를 뺍니다.

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} = - \frac{1}{x^{4}}$

단계 2.3

방정식의 각 변에 있는 식이 같은 분모를 가지므로 분자가 같아야 합니다.

$- 3 \ln (x) = - 1$

단계 2.4

$- 3 \ln (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$- 3 \ln (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

단계 2.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

단계 2.4.2.1.2

$\ln (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 3}$

단계 2.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\ln (x) = \frac{1}{3}$

단계 2.5

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{3}}$

단계 2.6

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x) = \frac{1}{3}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\frac{1}{3}} = x$

단계 2.7

$x = e^{\frac{1}{3}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x = e^{\frac{1}{3}}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{3 \ln (x)}{x^{4}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{4} = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

단계 3.2.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

$0$ 을 $0^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

단계 3.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 3.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 3.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\ln (x)$ 의 진수를 $0$ 보다 같거나 작게 설정해야 합니다.

$x \leq 0$

단계 3.4

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x^{- 3} \ln (x)$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = e^{\frac{1}{3}}$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $e^{\frac{1}{3}}$ 를 대입합니다.

${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

단계 4.1.2.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.2.1.2.1

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

단계 4.1.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

단계 4.1.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

단계 4.1.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

단계 4.1.2.3

로그 공식을 이용해 지수에서 $\frac{1}{3}$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \ln (e))$

단계 4.1.2.4

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \cdot 1)$

단계 4.1.2.5

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e} \cdot \frac{1}{3}$

단계 4.1.2.6

$\frac{1}{e}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e \cdot 3}$

단계 4.1.2.7

$e$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{1}{3 e}$

단계 4.2

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

${(0)}^{- 3} \ln (0)$

단계 4.2.2

0의 자연로그는 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(e^{\frac{1}{3}}, \frac{1}{3 e})$

단계 5