미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 1}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6 x^{2} - 3 x] - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.5

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.6

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 1) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.8

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.9

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.11

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.12

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.12.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.12.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) + (- 2 x^{3} - 2 (6 x^{2}) - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3)$ 를 전개합니다.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.2.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.2.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.2.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.6

$3 x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.7

$12 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.8

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.3

$3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.3.1

$- 3 x^{2}$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 0 + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.3.2

$3 x^{4} + 12 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.4

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x \cdot x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.4.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x^{1} x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{1 + 3} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.4.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x \cdot x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.5.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x^{1} x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{1 + 2}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{3}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.6

$6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.7

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.7.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.7.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.8

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.2

$3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.2.1

$12 x^{3}$ 에서 $12 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 0 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.2.2

$3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.3

$3 x^{4}$ 에서 $2 x^{4}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{4} + 12 x - 3 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3$ , $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

단계 2.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.2.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.2.4

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.2.6

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.2.7

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.2.9

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.2.10

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 + 0) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.2.11

$4 x^{3} + 12 x + 12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.4

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.4.2

${(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.4.2.1

${(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12)$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.4.2.2

$- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.4.2.3

$(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.5

공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.1

${(x^{2} + 1)}^{4}$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.5.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.5.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.6

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.9

식을 간단히 합니다.

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단계 2.9.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.9.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 4 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10

간단히 합니다.

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단계 2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) + (- 4 x^{4} - 4 (6 x^{2}) - 4 (12 x) - 4 \cdot - 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.10.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.10.3.1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)$ 를 전개합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.2.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 2.10.3.1.2.2.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.2.2.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.2.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.1.2.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.2.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.1.2.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.2.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.2.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.2.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 \cdot x^{2} + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.2.6

$4 x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.2.7

$12 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 12 x + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.2.8

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 12 x + 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.3

$12 x^{3}$ 를 $4 x^{3}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.4

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.4.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{1 + 4} - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.4.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 (x \cdot x^{2})) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.5.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.1.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 (x \cdot x^{2})) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{1 + 2}) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{3}) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.6

$6$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.7

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.1.7.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 (x \cdot x)) - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.7.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 x^{2}) - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.8

$12$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.1.9

$- 4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.2

$4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.2.1

$4 x^{5}$ 에서 $4 x^{5}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 + 0 - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.2.2

$16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.3

$16 x^{3}$ 에서 $24 x^{3}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.4

$12 x^{2}$ 에서 $48 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 12 x + 12 + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.3.5

$12 x$ 를 $12 x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.4

$- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x + 12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.4.1

$- 8 x^{3}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) - 36 x^{2} + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.4.2

$- 36 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.4.3

$24 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.4.4

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.4.5

$4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.4.6

$4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (6 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.4.7

$4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x) + 4 (3)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.5

$- 2 x^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3}) - 9 x^{2} + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.6

$- 9 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3}) - (9 x^{2}) + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.7

$- (2 x^{3}) - (9 x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.8

$6 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2}) - (- 6 x) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.9

$- (2 x^{3} + 9 x^{2}) - (- 6 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.10

$3$ 을 $- 1 (- 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.11

$- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) - 1 (- 3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.12

$- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)$ 을 $- 1 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{4 (- 1 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 2.10.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6 x^{2} - 3 x] - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.5

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.6

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 1) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.8

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.9

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.11

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.12

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.12.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.12.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) + (- 2 x^{3} - 2 (6 x^{2}) - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3)$ 를 전개합니다.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.2.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.2.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.2.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.2.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.2.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.2.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.2.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.2.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.2.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.2.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.2.6

$3 x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.2.7

$12 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.2.8

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.3

$3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.3.1

$- 3 x^{2}$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 0 + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.3.2

$3 x^{4} + 12 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.4

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x \cdot x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.4.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x^{1} x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{1 + 3} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.4.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x \cdot x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.5.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x^{1} x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{1 + 2}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{3}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.6

$6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.7

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.7.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.7.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.8

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.2

$3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.2.1

$12 x^{3}$ 에서 $12 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 0 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.2.2

$3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.3

$3 x^{4}$ 에서 $2 x^{4}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{4} + 12 x - 3 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

단계 5.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x \approx - 1.61201265, 0.2245718$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = - 1.61201265, 0.2245718$

단계 8

$x = - 1.61201265$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \frac{4 (2 {(- 1.61201265)}^{3} + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$- 1.61201265$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{4 (2 \cdot - 4.18895161 + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 9.1.2

$2$ 에 $- 4.18895161$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 9.1.3

$- 1.61201265$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 9 \cdot 2.59858481 - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 9.1.4

$9$ 에 $2.59858481$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 23.38726331 - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 9.1.5

$- 6$ 에 $- 1.61201265$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 23.38726331 + 9.67207595 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 9.1.6

$- 8.37790322$ 를 $23.38726331$ 에 더합니다.

$- \frac{4 (15.00936008 + 9.67207595 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 9.1.7

$15.00936008$ 를 $9.67207595$ 에 더합니다.

$- \frac{4 (24.68143604 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 9.1.8

$24.68143604$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 9.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$- 1.61201265$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{(2.59858481 + 1)}^{3}}$

단계 9.2.2

$2.59858481$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{3.59858481}^{3}}$

단계 9.2.3

$3.59858481$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{46.60099914}$

단계 9.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$4$ 에 $21.68143604$ 을 곱합니다.

$- \frac{86.72574416}{46.60099914}$

단계 9.3.2

$86.72574416$ 을 $46.60099914$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 1.86102756$

단계 9.3.3

$- 1$ 에 $1.86102756$ 을 곱합니다.

$- 1.86102756$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = - 1.61201265$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 1.61201265$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = - 1.61201265$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.61201265$ 을 대입합니다.

$f (- 1.61201265) = \frac{{(- 1.61201265)}^{3} + 6 {(- 1.61201265)}^{2} - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$- 1.61201265$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 6 {(- 1.61201265)}^{2} - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

단계 11.2.1.2

$- 1.61201265$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 6 \cdot 2.59858481 - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

단계 11.2.1.3

$6$ 에 $2.59858481$ 을 곱합니다.

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 15.59150887 - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

단계 11.2.1.4

$- 3$ 에 $- 1.61201265$ 을 곱합니다.

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 15.59150887 + 4.83603797}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

단계 11.2.1.5

$- 4.18895161$ 를 $15.59150887$ 에 더합니다.

$f (- 1.61201265) = \frac{11.40255726 + 4.83603797}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

단계 11.2.1.6

$11.40255726$ 를 $4.83603797$ 에 더합니다.

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

단계 11.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$- 1.61201265$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{2.59858481 + 1}$

단계 11.2.2.2

$2.59858481$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{3.59858481}$

단계 11.2.3

$16.23859524$ 을 $3.59858481$ 로 나눕니다.

$f (- 1.61201265) = 4.51249479$

단계 11.2.4

최종 답은 $4.51249479$ 입니다.

$y = 4.51249479$

단계 12

$x = 0.2245718$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \frac{4 (2 {(0.2245718)}^{3} + 9 {(0.2245718)}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({(0.2245718)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$0.2245718$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{4 (2 \cdot 0.01132571 + 9 \cdot {0.2245718}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 13.1.2

$2$ 에 $0.01132571$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 (0.02265143 + 9 \cdot {0.2245718}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 13.1.3

$0.2245718$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{4 (0.02265143 + 9 \cdot 0.05043249 - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 13.1.4

$9$ 에 $0.05043249$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 (0.02265143 + 0.45389244 - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 13.1.5

$- 6$ 에 $0.2245718$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 (0.02265143 + 0.45389244 - 1.3474308 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 13.1.6

$0.02265143$ 를 $0.45389244$ 에 더합니다.

$- \frac{4 (0.47654387 - 1.3474308 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 13.1.7

$0.47654387$ 에서 $1.3474308$ 을 뺍니다.

$- \frac{4 (- 0.87088692 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 13.1.8

$- 0.87088692$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 13.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$0.2245718$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{(0.05043249 + 1)}^{3}}$

단계 13.2.2

$0.05043249$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{1.05043249}^{3}}$

단계 13.2.3

$1.05043249$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{1.15905606}$

단계 13.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$4$ 에 $- 3.87088692$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 15.48354771}{1.15905606}$

단계 13.3.2

$- 15.48354771$ 을 $1.15905606$ 로 나눕니다.

$- - 13.35875651$

단계 13.3.3

$- 1$ 에 $- 13.35875651$ 을 곱합니다.

$13.35875651$

단계 14

이계도함수가 양수이므로 $x = 0.2245718$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0.2245718$ 은 극소값입니다.

단계 15

$x = 0.2245718$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.2245718$ 을 대입합니다.

$f (0.2245718) = \frac{{(0.2245718)}^{3} + 6 {(0.2245718)}^{2} - 3 \cdot 0.2245718}{{(0.2245718)}^{2} + 1}$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

$0.2245718$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 6 \cdot {0.2245718}^{2} - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

단계 15.2.1.2

$0.2245718$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 6 \cdot 0.05043249 - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

단계 15.2.1.3

$6$ 에 $0.05043249$ 을 곱합니다.

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 0.30259496 - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

단계 15.2.1.4

$- 3$ 에 $0.2245718$ 을 곱합니다.

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 0.30259496 - 0.6737154}{{0.2245718}^{2} + 1}$

단계 15.2.1.5

$0.01132571$ 를 $0.30259496$ 에 더합니다.

$f (0.2245718) = \frac{0.31392067 - 0.6737154}{{0.2245718}^{2} + 1}$

단계 15.2.1.6

$0.31392067$ 에서 $0.6737154$ 을 뺍니다.

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{{0.2245718}^{2} + 1}$

단계 15.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

$0.2245718$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{0.05043249 + 1}$

단계 15.2.2.2

$0.05043249$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{1.05043249}$

단계 15.2.3

$- 0.35979472$ 을 $1.05043249$ 로 나눕니다.

$f (0.2245718) = - 0.34252055$

단계 15.2.4

최종 답은 $- 0.34252055$ 입니다.

$y = - 0.34252055$

단계 16

$f (x) = \frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 1}$ 에 대한 극값입니다.

$(- 1.61201265, 4.51249479)$ 은 극댓값임

$(0.2245718, - 0.34252055)$ 은 극솟값임

단계 17