미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x} \ln (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} \ln (x))$

단계 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 1.1.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 1.1.4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 1.1.4.2

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 1.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 1.1.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 1.1.5.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 1.1.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 1.1.5.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 1.1.6

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 1.1.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.1.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.1.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.1.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 1.1.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 1.1.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 1.1.12

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 1.1.13

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.1.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 를 뺍니다.

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.3

양변에 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

단계 2.4.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

단계 2.4.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

단계 2.4.1.1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

단계 2.4.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (x) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

단계 2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1.1

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

단계 2.4.2.1.1.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

단계 2.4.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

단계 2.4.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$\ln (x) = - 1 \cdot 2$

단계 2.4.2.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\ln (x) = - 2$

단계 2.5

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x)} = e^{- 2}$

단계 2.6

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x) = - 2$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 2} = x$

단계 2.7

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$x = e^{- 2}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x = e^{- 2}$

단계 2.7.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x = \frac{1}{e^{2}}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.1.2

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

단계 3.1.3

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

단계 3.1.4

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}$

단계 3.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$\sqrt{x} = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

단계 3.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{1} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.2

간단히 합니다.

$x = 0^{2}$

단계 3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$x = 0$

단계 3.4

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$2 \sqrt{x} = 0$

단계 3.5

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

단계 3.5.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 3.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 3.5.2.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 3.5.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 3.5.2.2.1.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 3.5.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$4 x^{1} = 0^{2}$

단계 3.5.2.2.1.4

간단히 합니다.

$4 x = 0^{2}$

단계 3.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 x = 0$

단계 3.5.3

$4 x = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$4 x = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

단계 3.5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

단계 3.5.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{4}$

단계 3.5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 3.6

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\ln (x)$ 의 진수를 $0$ 보다 같거나 작게 설정해야 합니다.

$x \leq 0$

단계 3.7

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\sqrt{x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 작게 설정해야 합니다.

$x < 0$

단계 3.8

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\sqrt{x} \ln (x)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = \frac{1}{e^{2}}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $\frac{1}{e^{2}}$ 를 대입합니다.

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

괄호를 제거합니다.

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

단계 4.1.2.2

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

단계 4.1.2.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

단계 4.1.2.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{e} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

단계 4.1.2.5

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $e^{2}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{e} \ln (e^{- 2})$

단계 4.1.2.6

$- 2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- 2})$ 을 전개합니다.

$\frac{1}{e} (- 2 \ln (e))$

단계 4.1.2.7

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{e} (- 2 \cdot 1)$

단계 4.1.2.8

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e} \cdot - 2$

단계 4.1.2.9

$\frac{1}{e}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{e}$

단계 4.1.2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{e}$

단계 4.2

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\sqrt{0} \ln (0)$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

괄호를 제거합니다.

$\sqrt{0} \ln (0)$

단계 4.2.2.2

0의 자연로그는 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(\frac{1}{e^{2}}, - \frac{2}{e})$

단계 5