미적분 예제

$x^{2} \ln (x)$

단계 1

$x^{2} \ln (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3.2.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x + \ln (x) (2 x)$

단계 2.1.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 x \ln (x) + x$ 입니다.

$2 x \ln (x) + x$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 x \ln (x) + x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$2 x \ln (x) + x = 0$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$2 x \ln (x) = - x$

단계 3.3

$2 x \ln (x) = - x$ 의 각 항을 $2 x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$2 x \ln (x) = - x$ 의 각 항을 $2 x$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

단계 3.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

단계 3.3.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

단계 3.3.2.2.2

$\ln (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

단계 3.3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

단계 3.3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

단계 3.4

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

단계 3.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

단계 3.6

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$x = e^{- \frac{1}{2}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

단계 3.6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

단계 4

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\ln (x)$ 의 진수를 $0$ 보다 같거나 작게 설정해야 합니다.

$x \leq 0$

단계 5.2

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

단계 6

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

단계 7

정의역에 없는 구간을 제외합니다.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

단계 8

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.30326533$ 을 대입합니다.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

괄호를 제거합니다.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

단계 8.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$2$ 에 $0.30326533$ 을 곱합니다.

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.30326533) + 0.30326533$

단계 8.2.2.2

$0.60653067$ 를 로그 안으로 옮겨 $0.60653067 \ln (0.30326533)$ 을 간단히 합니다.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.30326533}^{0.60653067}) + 0.30326533$

단계 8.2.2.3

$0.30326533$ 를 $0.60653067$ 승 합니다.

$f' (0.30326533) = \ln (0.48496413) + 0.30326533$

단계 8.2.3

$\ln (0.48496413)$ 를 $0.30326533$ 에 더합니다.

$f' (0.30326533) = - 0.42041501$

단계 8.2.4

최종 답은 $- 0.42041501$ 입니다.

$- 0.42041501$

단계 8.3

$x = 0.30326533$ 에서의 도함수는 $- 0.42041501$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ 에서 감소함

단계 9

정의역에 없는 구간을 제외합니다.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

단계 10

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.60653067$ 을 대입합니다.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

단계 10.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

괄호를 제거합니다.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

단계 10.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$2$ 에 $1.60653067$ 을 곱합니다.

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (1.60653067) + 1.60653067$

단계 10.2.2.2

$3.21306134$ 를 로그 안으로 옮겨 $3.21306134 \ln (1.60653067)$ 을 간단히 합니다.

$f' (1.60653067) = \ln ({1.60653067}^{3.21306134}) + 1.60653067$

단계 10.2.2.3

$1.60653067$ 를 $3.21306134$ 승 합니다.

$f' (1.60653067) = \ln (4.58705612) + 1.60653067$

단계 10.2.3

$\ln (4.58705612)$ 를 $1.60653067$ 에 더합니다.

$f' (1.60653067) = 3.12976912$

단계 10.2.4

최종 답은 $3.12976912$ 입니다.

$3.12976912$

단계 10.3

$x = 1.60653067$ 에서의 도함수는 $3.12976912$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ 에서 증가함

단계 11

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

단계 12