미적분 예제

${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

단계 1

${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int {(x - \frac{1}{2 x})}^{2} d x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ 을 $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ 를 전개합니다.

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단계 4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x (x - \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\int x^{2} + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\int x^{2} - x \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.3.1.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1.3.1

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.3.1.3.2

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.3.1.3.3

공약수로 약분합니다.

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.3.1.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.3.1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1.4.1

$- \frac{1}{2 x}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.3.1.4.2

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.3.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.3.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.3.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

단계 4.3.1.6

$- \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x})$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2 x} \frac{1}{2 x} d x$

단계 4.3.1.6.2

$\frac{1}{2 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{2 x} d x$

단계 4.3.1.6.3

$\frac{1}{2 x}$ 에 $\frac{1}{2 x}$ 을 곱합니다.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x (2 x)} d x$

단계 4.3.1.6.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x \cdot x} d x$

단계 4.3.1.6.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x)} d x$

단계 4.3.1.6.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x^{1})} d x$

단계 4.3.1.6.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{1 + 1}} d x$

단계 4.3.1.6.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

단계 4.3.2

$- \frac{1}{2}$ 에서 $\frac{1}{2}$ 을 뺍니다.

$\int x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

단계 4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int x^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

단계 4.4.2

공약수로 약분합니다.

$\int x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

단계 4.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\int x^{2} - 1 + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x^{2} d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

단계 8

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 9

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 9.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 9.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 9.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 9.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{- 2} d x$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} (- x^{- 1} + C)$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} - x + \frac{1}{4} (- x^{- 1}) + C$

단계 11.2

간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{- 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{x^{- 1}}{4} + C$

단계 11.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 1}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$

단계 12

답은 함수 $f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$