미적분 예제

$f (x) = 2 \sin (x) + 2 \cos (x)$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 \sin (x) + 2 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sin (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

단계 1.1.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \cos (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$2 \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$2 \cos (x) + 2 (- \sin (x))$

단계 1.1.3.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 \cos (x) - 2 \sin (x)$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 \cos (x) - 2 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \cos (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 1.2.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 1.2.2.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \sin (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$- 2 \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.2.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 \cos (x)$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- 2 \sin (x) - 2 \cos (x)$ 입니다.

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x)$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) = 0$

단계 2.2

방정식의 각 항을 $\cos (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.3

분수를 나눕니다.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- 2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.5

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 \tan (x) + \frac{- 2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.6

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

공약수로 약분합니다.

$- 2 \tan (x) + \frac{- 2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.6.2

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 \tan (x) - 2 = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.7

분수를 나눕니다.

$- 2 \tan (x) - 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

단계 2.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$- 2 \tan (x) - 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

단계 2.9

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 \tan (x) - 2 = 0 \sec (x)$

단계 2.10

$0$ 에 $\sec (x)$ 을 곱합니다.

$- 2 \tan (x) - 2 = 0$

단계 2.11

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$- 2 \tan (x) = 2$

단계 2.12

$- 2 \tan (x) = 2$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1

$- 2 \tan (x) = 2$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

단계 2.12.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

단계 2.12.2.1.2

$\tan (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = \frac{2}{- 2}$

단계 2.12.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.3.1

$2$ 을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = - 1$

단계 2.13

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (- 1)$

단계 2.14

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.1

$\arctan (- 1)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{4}$ 입니다.

$x = - \frac{π}{4}$

단계 2.15

탄젠트 함수는 제2사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 제3사분면에 속한 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 뺍니다.

$x = - \frac{π}{4} - π$

단계 2.16

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.16.1

$- \frac{π}{4} - π$ 에 $2 π$ 를 더합니다.

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

단계 2.16.2

결과 각인 $\frac{3 π}{4}$ 은 양의 값을 가지며 $- \frac{π}{4} - π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 2.17

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 2.17.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 2.17.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 2.17.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 2.18

모든 음의 각에 $π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.18.1

$- \frac{π}{4}$ 에 $π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{4} + π$

단계 2.18.2

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 2.18.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.18.3.1

$π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 2.18.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

단계 2.18.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.18.4.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

단계 2.18.4.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{3 π}{4}$

단계 2.18.5

새 각을 나열합니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 2.19

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = 2 \sin (x) + 2 \cos (x)$ 에 $\frac{3 π}{4}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3 π}{4}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{4}) + 2 \cos (\frac{3 π}{4})$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{π}{4}) + 2 \cos (\frac{3 π}{4})$

단계 3.1.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2 \cos (\frac{3 π}{4})$

단계 3.1.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2 \cos (\frac{3 π}{4})$

단계 3.1.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2} + 2 \cos (\frac{3 π}{4})$

단계 3.1.2.1.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2} + 2 (- \cos (\frac{π}{4}))$

단계 3.1.2.1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

단계 3.1.2.1.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.6.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2} + 2 (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

단계 3.1.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2} + 2 (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

단계 3.1.2.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2} - \sqrt{2}$

단계 3.1.2.2

$\sqrt{2}$ 에서 $\sqrt{2}$ 을 뺍니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

단계 3.1.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 3.2

$f (x) = 2 \sin (x) + 2 \cos (x)$ 에 $\frac{3 π}{4}$ 을 대입하여 구한 점은 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

단계 3.3

$f (x) = 2 \sin (x) + 2 \cos (x)$ 에 $\frac{3 π}{4}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3 π}{4}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{4}) + 2 \cos (\frac{3 π}{4})$

단계 3.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{π}{4}) + 2 \cos (\frac{3 π}{4})$

단계 3.3.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2 \cos (\frac{3 π}{4})$

단계 3.3.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2 \cos (\frac{3 π}{4})$

단계 3.3.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2} + 2 \cos (\frac{3 π}{4})$

단계 3.3.2.1.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2} + 2 (- \cos (\frac{π}{4}))$

단계 3.3.2.1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

단계 3.3.2.1.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.6.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2} + 2 (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

단계 3.3.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2} + 2 (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

단계 3.3.2.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2} - \sqrt{2}$

단계 3.3.2.2

$\sqrt{2}$ 에서 $\sqrt{2}$ 을 뺍니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

단계 3.3.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 3.4

$f (x) = 2 \sin (x) + 2 \cos (x)$ 에 $\frac{3 π}{4}$ 을 대입하여 구한 점은 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

단계 3.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, \frac{3 π}{4}) \cup (\frac{3 π}{4}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \frac{3 π}{4})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2.25619449$ 을 대입합니다.

$f'' (2.25619449) = - 2 \sin (2.25619449) - 2 \cos (2.25619449)$

단계 5.2

최종 답은 $- 2 \sin (2.25619449) - 2 \cos (2.25619449)$ 입니다.

$- 2 \sin (2.25619449) - 2 \cos (2.25619449)$

단계 5.3

$2.25619449$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.28237154$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ 에서 감소함

단계 6

$(\frac{3 π}{4}, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2.45619449$ 을 대입합니다.

$f'' (2.45619449) = - 2 \sin (2.45619449) - 2 \cos (2.45619449)$

단계 6.2

최종 답은 $- 2 \sin (2.45619449) - 2 \cos (2.45619449)$ 입니다.

$- 2 \sin (2.45619449) - 2 \cos (2.45619449)$

단계 6.3

$2.45619449$ 에서의 이계도함수는 $0.28237154$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ 에서 증가함

단계 7

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$ 입니다.

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

단계 8