미적분 예제

$s = \frac{t^{2} + 5 t - 1}{t^{2}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (t) = t^{2} + 5 t - 1$ , $g (t) = t^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 1] - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

${(t^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 1] - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

단계 1.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 1] - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

단계 1.2.2

합의 법칙에 의해 $t^{2} + 5 t - 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

단계 1.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

단계 1.2.4

$5$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $5 t$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{t^{2} (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

단계 1.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t^{2} (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

단계 1.2.6

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

단계 1.2.7

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{t^{2} (2 t + 5 + 0) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

단계 1.2.8

$2 t + 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{t^{2} (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

단계 1.2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t^{2} (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t - 1) (2 t)}{t^{4}}$

단계 1.2.10

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} (2 t + 5) - 2 (t^{2} + 5 t - 1) t}{t^{4}}$

단계 1.2.10.2

$t^{2} (2 t + 5) - 2 (t^{2} + 5 t - 1) t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.2.1

$t^{2} (2 t + 5)$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t (t (2 t + 5)) - 2 (t^{2} + 5 t - 1) t}{t^{4}}$

단계 1.2.10.2.2

$- 2 (t^{2} + 5 t - 1) t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t (t (2 t + 5)) + t (- 2 (t^{2} + 5 t - 1))}{t^{4}}$

단계 1.2.10.2.3

$t (t (2 t + 5)) + t (- 2 (t^{2} + 5 t - 1))$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t (t (2 t + 5) - 2 (t^{2} + 5 t - 1))}{t^{4}}$

단계 1.3

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$t^{4}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t (t (2 t + 5) - 2 (t^{2} + 5 t - 1))}{t \cdot t^{3}}$

단계 1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{t (t (2 t + 5) - 2 (t^{2} + 5 t - 1))}{t \cdot t^{3}}$

단계 1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{t (2 t + 5) - 2 (t^{2} + 5 t - 1)}{t^{3}}$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{t (2 t) + t \cdot 5 - 2 (t^{2} + 5 t - 1)}{t^{3}}$

단계 1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{t (2 t) + t \cdot 5 - 2 t^{2} - 2 (5 t) - 2 \cdot - 1}{t^{3}}$

단계 1.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 t \cdot t + t \cdot 5 - 2 t^{2} - 2 (5 t) - 2 \cdot - 1}{t^{3}}$

단계 1.4.3.1.2

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1.2.1

$t$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (t \cdot t) + t \cdot 5 - 2 t^{2} - 2 (5 t) - 2 \cdot - 1}{t^{3}}$

단계 1.4.3.1.2.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{2} + t \cdot 5 - 2 t^{2} - 2 (5 t) - 2 \cdot - 1}{t^{3}}$

단계 1.4.3.1.3

$t$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{2 t^{2} + 5 \cdot t - 2 t^{2} - 2 (5 t) - 2 \cdot - 1}{t^{3}}$

단계 1.4.3.1.4

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{2} + 5 t - 2 t^{2} - 10 t - 2 \cdot - 1}{t^{3}}$

단계 1.4.3.1.5

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{2} + 5 t - 2 t^{2} - 10 t + 2}{t^{3}}$

단계 1.4.3.2

$2 t^{2} + 5 t - 2 t^{2} - 10 t + 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.2.1

$2 t^{2}$ 에서 $2 t^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{5 t + 0 - 10 t + 2}{t^{3}}$

단계 1.4.3.2.2

$5 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5 t - 10 t + 2}{t^{3}}$

단계 1.4.3.3

$5 t$ 에서 $10 t$ 을 뺍니다.

$\frac{- 5 t + 2}{t^{3}}$

단계 1.4.4

$- 5 t$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 t) + 2}{t^{3}}$

단계 1.4.5

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (5 t) - 1 (- 2)}{t^{3}}$

단계 1.4.6

$- (5 t) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 t - 2)}{t^{3}}$

단계 1.4.7

$- (5 t - 2)$ 을 $- 1 (5 t - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (5 t - 2)}{t^{3}}$

단계 1.4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (t) = - \frac{5 t - 2}{t^{3}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (t) = - 1$ , $g (t) = \frac{5 t - 2}{t^{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{d}{d t} [\frac{5 t - 2}{t^{3}}] + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2

$f (t) = 5 t - 2$ , $g (t) = t^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 2] - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{{(t^{3})}^{2}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

${(t^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 2] - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{3 \cdot 2}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 2] - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $5 t - 2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ 가 됩니다.

$- \frac{t^{3} (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.3

$5$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $5 t$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- \frac{t^{3} (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{t^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]) - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{t^{3} (5 + \frac{d}{d t} [- 2]) - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.6

$- 2$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$- \frac{t^{3} (5 + 0) - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{t^{3} \cdot 5 - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.7.2

$t^{3}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$- \frac{5 \cdot t^{3} - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.8

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{5 t^{3} - (5 t - 2) (3 t^{2})}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.9

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.9.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{5 t^{3} - 3 (5 t - 2) t^{2}}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.9.2

$5 t^{3} - 3 (5 t - 2) t^{2}$ 에서 $t^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.9.2.1

$5 t^{3}$ 에서 $t^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{t^{2} (5 t) - 3 (5 t - 2) t^{2}}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.9.2.2

$- 3 (5 t - 2) t^{2}$ 에서 $t^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{t^{2} (5 t) + t^{2} (- 3 (5 t - 2))}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.9.2.3

$t^{2} (5 t) + t^{2} (- 3 (5 t - 2))$ 에서 $t^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{t^{2} (5 t - 3 (5 t - 2))}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$t^{6}$ 에서 $t^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{t^{2} (5 t - 3 (5 t - 2))}{t^{2} t^{4}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.4.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{t^{2} (5 t - 3 (5 t - 2))}{t^{2} t^{4}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.4.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{5 t - 3 (5 t - 2)}{t^{4}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.5

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- \frac{5 t - 3 (5 t - 2)}{t^{4}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \cdot 0$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$\frac{5 t - 2}{t^{3}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{5 t - 3 (5 t - 2)}{t^{4}} + 0$

단계 2.6.2

$- \frac{5 t - 3 (5 t - 2)}{t^{4}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{5 t - 3 (5 t - 2)}{t^{4}}$

단계 2.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{5 t - 3 (5 t) - 3 \cdot - 2}{t^{4}}$

단계 2.7.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.1.1

$5$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- \frac{5 t - 15 t - 3 \cdot - 2}{t^{4}}$

단계 2.7.2.1.2

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{5 t - 15 t + 6}{t^{4}}$

단계 2.7.2.2

$5 t$ 에서 $15 t$ 을 뺍니다.

$- \frac{- 10 t + 6}{t^{4}}$

단계 2.7.3

$- 10 t + 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.3.1

$- 10 t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (- 5 t) + 6}{t^{4}}$

단계 2.7.3.2

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (- 5 t) + 2 (3)}{t^{4}}$

단계 2.7.3.3

$2 (- 5 t) + 2 (3)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (- 5 t + 3)}{t^{4}}$

단계 2.7.4

$- 5 t$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (- (5 t) + 3)}{t^{4}}$

단계 2.7.5

$3$ 을 $- 1 (- 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2 (- (5 t) - 1 (- 3))}{t^{4}}$

단계 2.7.6

$- (5 t) - 1 (- 3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (- (5 t - 3))}{t^{4}}$

단계 2.7.7

$- (5 t - 3)$ 을 $- 1 (5 t - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2 (- 1 (5 t - 3))}{t^{4}}$

단계 2.7.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- - \frac{2 (5 t - 3)}{t^{4}}$

단계 2.7.9

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{2 (5 t - 3)}{t^{4}}$

단계 2.7.10

$\frac{2 (5 t - 3)}{t^{4}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (t) = \frac{2 (5 t - 3)}{t^{4}}$