미적분 예제

$y = x^{7} + x^{5} + 3$

단계 1

$y = x^{7} + x^{5} + 3$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x^{7} + x^{5} + 3$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{7} + x^{5} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.3

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 x^{6} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$7 x^{6} + 5 x^{4} + 0$

단계 2.1.5

$7 x^{6} + 5 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 7 x^{6} + 5 x^{4}$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $7 x^{6} + 5 x^{4}$ 입니다.

$7 x^{6} + 5 x^{4}$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $7 x^{6} + 5 x^{4} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$7 x^{6} + 5 x^{4} = 0$

단계 3.2

$7 x^{6} + 5 x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$7 x^{6}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$x^{4} (7 x^{2}) + 5 x^{4} = 0$

단계 3.2.2

$5 x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$x^{4} (7 x^{2}) + x^{4} \cdot 5 = 0$

단계 3.2.3

$x^{4} (7 x^{2}) + x^{4} \cdot 5$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$x^{4} (7 x^{2} + 5) = 0$

단계 3.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{4} = 0$

$7 x^{2} + 5 = 0$

단계 3.4

$x^{4}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x^{4}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{4} = 0$

단계 3.4.2

$x^{4} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

단계 3.4.2.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

단계 3.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 3.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 3.5

$7 x^{2} + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$7 x^{2} + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$7 x^{2} + 5 = 0$

단계 3.5.2

$7 x^{2} + 5 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$7 x^{2} = - 5$

단계 3.5.2.2

$7 x^{2} = - 5$ 의 각 항을 $7$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1

$7 x^{2} = - 5$ 의 각 항을 $7$ 로 나눕니다.

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{- 5}{7}$

단계 3.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.2.1

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{- 5}{7}$

단계 3.5.2.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 5}{7}$

단계 3.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{2} = - \frac{5}{7}$

단계 3.5.2.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- \frac{5}{7}}$

단계 3.5.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{5}{7}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.4.1

$- 1$ 을 $i^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{5}{7}}$

단계 3.5.2.4.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \sqrt{\frac{5}{7}}$

단계 3.5.2.4.3

$\sqrt{\frac{5}{7}}$ 을 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

단계 3.5.2.4.4

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ 에 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm i (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

단계 3.5.2.4.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.4.5.1

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ 에 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

단계 3.5.2.4.5.2

$\sqrt{7}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

단계 3.5.2.4.5.3

$\sqrt{7}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

단계 3.5.2.4.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

단계 3.5.2.4.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

단계 3.5.2.4.5.6

${\sqrt{7}}^{2}$ 을 $7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.4.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{7}$ 을(를) $7^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.5.2.4.5.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.5.2.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.5.2.4.5.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.4.5.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.5.2.4.5.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}}$

단계 3.5.2.4.5.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7}$

단계 3.5.2.4.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.4.6.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7}$

단계 3.5.2.4.6.2

$5$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{35}}{7}$

단계 3.5.2.4.7

$i$ 와 $\frac{\sqrt{35}}{7}$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{i \sqrt{35}}{7}$

단계 3.5.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{i \sqrt{35}}{7}$

단계 3.5.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{i \sqrt{35}}{7}$

단계 3.5.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{i \sqrt{35}}{7}, - \frac{i \sqrt{35}}{7}$

단계 3.6

$x^{4} (7 x^{2} + 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \frac{i \sqrt{35}}{7}, - \frac{i \sqrt{35}}{7}$

단계 4

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0$ 입니다.

$0$

단계 5

도함수 $f' (x) = 7 x^{6} + 5 x^{4}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 구간에서 $f (x) = x^{7} + x^{5} + 3$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 6

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = 7 {(- 1)}^{6} + 5 {(- 1)}^{4}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 1$ 를 $6$ 승 합니다.

$f' (- 1) = 7 \cdot 1 + 5 {(- 1)}^{4}$

단계 6.2.1.2

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = 7 + 5 {(- 1)}^{4}$

단계 6.2.1.3

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (- 1) = 7 + 5 \cdot 1$

단계 6.2.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = 7 + 5$

단계 6.2.2

$7$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f' (- 1) = 12$

단계 6.2.3

최종 답은 $12$ 입니다.

$12$

단계 6.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $12$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 증가함

단계 7

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = 7 {(1)}^{6} + 5 {(1)}^{4}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 7 \cdot 1 + 5 {(1)}^{4}$

단계 7.2.1.2

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 7 + 5 {(1)}^{4}$

단계 7.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 7 + 5 \cdot 1$

단계 7.2.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 7 + 5$

단계 7.2.2

$7$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f' (1) = 12$

단계 7.2.3

최종 답은 $12$ 입니다.

$12$

단계 7.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $12$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

단계 9