미적분 예제

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 3 + 8$

단계 1

합을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$3$ 를 $8$ 에 더합니다.

$2 i^{2} - i + 11$

단계 1.2

합을 다시 씁니다.

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11$

단계 2

$i$ 의 시작값을 $1$ 에 맞추기 위해 합을 나눕니다.

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = \sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 - \sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$

단계 3

$\sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙이 성립되도록 합을 더 작은 크기의 부분합으로 나눕니다.

$\sum_{k = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = 2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2} - 1 \sum_{k = 1}^{24} i + \sum_{k = 1}^{24} 11$

단계 3.2

$2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

차수가 $2$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

단계 3.2.2

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(2) (\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6})$

단계 3.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1.1

$24$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \frac{24 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

단계 3.2.3.1.2

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1.2.1

$24$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$2 \frac{600 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

단계 3.2.3.1.2.2

$2$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$2 \frac{600 (48 + 1)}{6}$

단계 3.2.3.1.3

$48$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \frac{600 \cdot 49}{6}$

단계 3.2.3.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.1

$600$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{29400}{6})$

단계 3.2.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{29400}{2 (3)}$

단계 3.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{29400}{2 \cdot 3}$

단계 3.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{29400}{3}$

단계 3.2.3.2.3

$29400$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$9800$

단계 3.3

$1 \sum_{k = 1}^{24} i$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

차수가 $1$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

단계 3.3.2

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(- 1) (\frac{24 (24 + 1)}{2})$

단계 3.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$24$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 1 \frac{24 \cdot 25}{2}$

단계 3.3.3.2

$24$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$- 1 (\frac{600}{2})$

단계 3.3.3.3

$600$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 300$

단계 3.3.3.4

$- 1$ 에 $300$ 을 곱합니다.

$- 300$

단계 3.4

$\sum_{k = 1}^{24} 11$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

상수의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

단계 3.4.2

공식에 값을 대입합니다.

$(11) (24)$

단계 3.4.3

$11$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$264$

단계 3.5

합계 결과를 더합니다.

$9800 - 300 + 264$

단계 3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$9800$ 에서 $300$ 을 뺍니다.

$9500 + 264$

단계 3.6.2

$9500$ 를 $264$ 에 더합니다.

$9764$

단계 4

$\sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 $i$ 값에 대하여 급수를 전개합니다.

$2 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.5

$1$ 를 $11$ 에 더합니다.

$12 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.6

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$12 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.7

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 + 8 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.8

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 + 8 - 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.9

$8$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$12 + 6 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.10

$6$ 를 $11$ 에 더합니다.

$12 + 17 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.11

$12$ 를 $17$ 에 더합니다.

$29 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.12

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$29 + 2 \cdot 9 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.13

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$29 + 18 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.14

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$29 + 18 - 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.15

$18$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$29 + 15 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.16

$15$ 를 $11$ 에 더합니다.

$29 + 26 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.17

$29$ 를 $26$ 에 더합니다.

$55 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.18

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$55 + 2 \cdot 16 - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.19

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$55 + 32 - 1 \cdot 4 + 11$

단계 4.2.20

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$55 + 32 - 4 + 11$

단계 4.2.21

$32$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$55 + 28 + 11$

단계 4.2.22

$28$ 를 $11$ 에 더합니다.

$55 + 39$

단계 4.2.23

$55$ 를 $39$ 에 더합니다.

$94$

단계 5

합을 구한 값으로 바꿉니다.

$9764 - 94$

단계 6

$9764$ 에서 $94$ 을 뺍니다.

$9670$