미적분 예제

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

단계 1

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$f (x) = x + 9$ , $g (x) = x^{2} - 81$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x + 9] - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} - 81) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.2.3

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} - 81) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.2.4.2

$x^{2} - 81$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.2.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 81$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.2.7

$- 81$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 81$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 81$ 입니다.

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.8.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.2.8.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x + 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 81 + (- 2 x - 2 \cdot 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.3.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.3.3.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.3.3.1.2

$- 2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.3.3.2

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} - 81 - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{2} - 18 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.3.5

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ 이고 합이 $b = - 18$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.5.1.1

$- 18 x$ 에서 $- 18$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} - 18 (x) - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.3.5.1.2

$- 18$ 를 $- 9$ + $- 9$ 로 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} + (- 9 - 9) x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.3.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} - 9 x - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.3.5.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.5.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(- x^{2} - 9 x) - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.3.5.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (- x - 9) + 9 (- x - 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.3.5.3

최대공약수 $- x - 9$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

단계 2.1.3.6

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.6.1

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 9^{2})}^{2}}$

단계 2.1.3.6.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 9$ 입니다.

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{((x + 9) (x - 9))}^{2}}$

단계 2.1.3.6.3

$(x + 9) (x - 9)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

단계 2.1.3.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.7.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (x) - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

단계 2.1.3.7.2

$- 9$ 을 $- 1 (9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- (x) - 1 (9)) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

단계 2.1.3.7.3

$- (x) - 1 (9)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

단계 2.1.3.7.4

$- (x + 9)$ 을 $- 1 (x + 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

단계 2.1.3.7.5

$x + 9$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} (x + 9))}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

단계 2.1.3.7.6

$x + 9$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} {(x + 9)}^{1})}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

단계 2.1.3.7.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{1 + 1}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

단계 2.1.3.7.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

단계 2.1.3.8

${(x + 9)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

단계 2.1.3.8.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 2.1.3.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

단계 3.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 3.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 5

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 9)}^{2} = 0$

단계 5.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$x - 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 9 = 0$

단계 5.2.2

방정식의 양변에 $9$ 를 더합니다.

$x = 9$

단계 6

도함수 $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$ 구간에서 $f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

단계 7

$(- \infty, 9)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $8$ 을 대입합니다.

$f' (8) = - \frac{1}{{((8) - 9)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$8$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$f' (8) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

단계 7.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

단계 7.2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

단계 7.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (8) = - 1 \cdot 1$

단계 7.2.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (8) = - 1$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 7.3

$x = 8$ 에서의 도함수는 $- 1$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, 9)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 9)$ 에서 감소함

단계 8

$(9, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $10$ 을 대입합니다.

$f' (10) = - \frac{1}{{((10) - 9)}^{2}}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$10$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$f' (10) = - \frac{1}{1^{2}}$

단계 8.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

단계 8.2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

단계 8.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (10) = - 1 \cdot 1$

단계 8.2.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (10) = - 1$

단계 8.2.3

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 8.3

$x = 10$ 에서의 도함수는 $- 1$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(9, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(9, \infty)$ 에서 감소함

단계 9

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

다음 구간에서 감소: $(- \infty, 9), (9, \infty)$

단계 10