미적분 예제

${(\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{2}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

단계 2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

단계 3

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}] + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 1 + \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 5

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

합의 법칙에 의해 $1 + \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 가 됩니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 6.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 6.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 에 더합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 7

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 8

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 9

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 12

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot 0)$

단계 13

식을 간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 0)$

단계 13.2

$- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 14.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 14.2.1.1

$- \sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.2.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.2.1.3

$- \sin (x) \sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 14.2.1.3.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.2.1.3.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.2.1.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.2.1.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.2.2

$- \sin^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.2.3

$- \cos^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.2.4

$- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.2.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.2.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.3

항을 묶습니다.

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단계 14.3.1

$- \sin (x) - 1$ 및 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.3.1.1

$- \sin (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x)) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.3.1.2

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x)) - 1 (1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.3.1.3

$- (\sin (x)) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.3.1.4

$- (\sin (x) + 1)$ 을 $- 1 (\sin (x) + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.3.1.5

항을 다시 정렬합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.3.1.6

$- 1 (1 + \sin (x))$ 에서 $1 + \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

단계 14.3.1.7

공약수로 약분합니다.

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단계 14.3.1.7.1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ 에서 $1 + \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))})$

단계 14.3.1.7.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))})$

단계 14.3.1.7.3

수식을 다시 씁니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1}{1 + \sin (x)})$

단계 14.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- - \frac{1}{1 + \sin (x)})$

단계 14.3.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (1 \frac{1}{1 + \sin (x)})$

단계 14.3.4

$\frac{1}{1 + \sin (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{1}{1 + \sin (x)}$

단계 15

항을 묶습니다.

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단계 15.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 (- \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}) \frac{1}{1 + \sin (x)}$

단계 15.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{1}{1 + \sin (x)}$

단계 15.3

$- 2$ 와 $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (x)}$

단계 15.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (x)}$

단계 15.5

$\frac{1}{1 + \sin (x)}$ 에 $\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 \cos (x)}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

단계 15.6

$1 + \sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1} (1 + \sin (x))}$

단계 15.7

$1 + \sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1} {(1 + \sin (x))}^{1}}$

단계 15.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1 + 1}}$

단계 15.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$