미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

단계 1.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

단계 1.3

$e^{x}$ 함수가 $\infty$ 에 접근하므로, 음수 상수 $- 2$ 배 함수는 $- \infty$ 에 근접합니다.

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단계 1.3.1

상수 배수 $- 2$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

단계 1.3.2

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.3.3

$e^{x}$ 함수가 $\infty$ 에 접근하므로, 음수 상수 $- 2$ 배 함수는 $- \infty$ 에 근접합니다.

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 1.3.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{- \infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

단계 3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

단계 3.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 e^{x}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 3.4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 e^{x}}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 e^{x}}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{- 2 e^{x}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (- 2 e^{x})}$

단계 5.2

$\frac{1}{- 2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{x})}$

단계 6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x (e^{x})}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{1}{- 2} \cdot 0$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2} \cdot 0$

단계 7.2

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 (\frac{1}{2})$

단계 7.2.2

$0$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$0$